. A SÍK ÉS A TÉR FELOSZTÁSA
(KIEGÉSZÍTŐ ANYAG)
Ebben a leckében olyan kérdéseket vizsgálunk meg, amelyek az előzőekben meghatározott geometriai alapfogalmakkal és azok elhelyezkedésével kapcsolatosak. Az ehhez hasonló kérdéseket a kombinatorikus geometria tárgyalja. Jellemző ezekre a problémákra, hogy a geometria fogalmai mellé általában valamilyen összeszámlálási problémák kapcsolódnak.

Egyszerű, a szemlélet alapján azonnal adódó állítás a következő:
Az egyenest n pont n + 1 részre osztja.
Ennek az állításnak a bizonyítását érdemes kissé részletezni, mert ennek gondolatmenete nagymértékben általánosítható.

Ha a pontok száma 0, akkor az egyenesnek 1 része van. Ha az egyenesen felveszünk egy pontot, akkor a részek száma 1-gyel növekszik, akkor is, ha már az egyenesen n pont volt. Ugyanis az egyik egyenes rész a felvett pont által két részre osztódik. Az n pont az eredeti 1 részt n-nel növelte, azaz n + 1 rész keletkezett.
14. ábra
14. ábra

1. példa
Adott a síkban n egyenes. Legalább, illetve legfeljebb hány részre osztja a síkot az n egyenes?
Megoldás
A problémával már a korábbi években is találkoztunk, most viszont egy olyan megoldással ismerkedünk meg, amely lehetőséget teremt a térbeli analóg feladat megoldásához.

Jelöljük az egyenesek által létrehozott részek számát s-sel, és tegyük fel, hogy az egyenesek között nincsenek olyanok, amelyek egybeesnek.

Nyilvánvaló, hogy n = 1 esetben a részek száma s = 2. (14. ábra) Ha n = 2, akkor már két eset lehetséges. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor a részek száma s = 3, ha a két egyenes metsző, akkor a részek száma s = 4. (14. ábra)

Ha n = 3, akkor a lehetséges esetek száma tovább nő. (15. ábra)
15. ábra
15. ábra

A konkrét esetek tanulmányozása során világos, hogy adott n esetén a részek száma pontosan akkor minimális, ha az egyenesek párhuzamosak. Ekkor a részek száma s = n + 1.

Az is világos, hogy a részek száma adott n esetén akkor maximális, ha az egyenesek között nincs két párhuzamos, és nincs közöttük három olyan, amely egy ponton megy át. (Az ilyen egyeneshalmazra azt mondjuk, hogy független egyenesekből áll.)
16. ábra
16. ábra

Jelölje s(n) azoknak a síkrészeknek a számát, amelyre n független egyenes a síkot szétvágta. Ha n egyenest már elhelyeztünk, akkor a síkrészek száma s(n). Húzzunk most egy újabb egyenest, ez metszi a már elhelyezett n egyenes mindegyikét, mégpedig n pontban (16. ábra). Ezek az új egyenest n + 1 részre vágják, és minden rész kettévág a már meglévő tartományok közül egyet, tehát az n + 1-edik egyenes elhelyezésével a síkrészek száma n + 1-gyel nő, azaz:
s(n + 1) = s(n) + n + 1.
Ez az összefüggés lehetőséget teremt s(n) közvetlen meghatározására is, írjuk fel ugyanis ezt n = 0, 1, 2, ..., n – 1 értékekre:

A fenti egyenletek megfelelő oldalait összeadva majd rendezve kapjuk, hogy
17. ábra
17. ábra


Itt felhasználtuk azt az összefüggést, miszerint a természetes számok összege n-ig zárt alakban az

összefüggéssel adható meg.
2. példa
Adott a térben n sík. Legalább, illetve legfeljebb hány részre osztja a teret az n sík?
Megoldás
Jelöljük a síkok által létrehozott részek számát t-vel, és tegyük fel, hogy a síkok között nincsenek olyanok, amelyek egybeesnek.

Nyilvánvaló, hogy n = 1 esetben a részek száma t = 2. (17. ábra)

Ha n = 2, akkor már két eset lehetséges. Ha a két sík párhuzamos, akkor a térrészek száma t = 3, ha a síkok nem párhuzamosak, akkor t = 4. (17. ábra)
Ha n = 3, akkor a következő esetek lehetségesek. (18. ábra)
18. ábra
18. ábra

(1)
A síkok páronként párhuzamosak, a térrészek száma t = 4.
(2)
Két sík párhuzamos, és a harmadik metszi őket. A térrészek száma t = 6.
(3)
A három sík egy egyenesre illeszkedik. Ekkor a térrészek száma t = 6.
(4)
Bármelyik két síknak van a harmadikkal párhuzamos, (de arra nem illeszkedő) metszésvonala. Ekkor t = 7.
(5)
A három síknak egyetlen közös pontja van. Ekkor a térrészek száma t = 8.
Itt is világos, hogy adott n esetén a térrészek száma akkor minimális, ha a síkok párhuzamosak, ekkor t = n + 1.
A térrészek száma viszont akkor lesz maximális, ha a síkok között nincs két párhuzamos, bármelyik három nem illeszkedik egy egyenesre, és nincs négy olyan sík, amely egy ponton menne át. (Ebben az esetben a síkokat függetleneknek mondjuk.)

Jelöljük t(n)-nel az n független sík által létrehozott térrészek számát.

Tegyük fel, hogy az adott n síkhoz felveszünk még egy
n + 1-edik síkot. Ez az új sík az eredeti síkokat n független egyenesben metszi, és rajta ezáltal s(n) tartomány keletkezik. Ezek mindegyike kettéoszt egy már meglévő térbeli tartományt, tehát az új sík felvételével a tartományok száma s(n)-nel növekszik.

Ezért
t(n + 1) = t(n) + s(n).
Írjuk most fel ezt az egyenletet az n = 1, 2, ..., n – 1 értékekre, majd adjuk össze az egyenletek megfelelő oldalait:

Így:

Tudjuk, hogy t(0) = 1, a többi tag összegét az alábbi módon határozhatjuk meg:


Ezért a keletkező térrészek száma:

Megjegyzés: A fenti két feladatban meghatározott sík-, illetve térrészek számát egy könnyen megjegyezhető alakban is megadhatjuk, melyben a binomiális együtthatók szerepelnek. Így a következő két formula írható fel: