Egyenletek

13a

`sqrt{4x+13}=2x+5`

Először meg kell nézni, hogy mekkora értékeket vehet fel az x. A jobboldalon levő kifejezés nem lehet kisebb nullánál. Ezek alapján:

`2x+5≥0`

`x≥-2,5`

`sqrt{4x+13}=2x+5`

Minkét oldalt négyzetre emeled:

`4x+13=4x^2+20x+25`

`0=4x^2+16x+12`

Mindkét oldalt osztod 4-gyel:

`x^2+4x+3=0`

`x={-4±sqrt{16-12}}/2={-4±2}/2`

`x_1={-4+2}/2=-1`

`x_2={-4-2}/2=-3`

Az utóbbi nem elégíti ki a kezdeti feltételt, ezért az egyenletnek csak egy megoldása van az x=−1. Egyébként, ha behelyettesíted az eredményeket az eredeti egyenletbe, akkor az x=−1 esetén azt kapod, hogy 3=3, míg az x=−3 esetén azt kapod, hogy 1=−1. Az utóbbi ellentmondás, vagyis az x=−3 nem megoldása az egyenletnek.

13b

`-x^2+5x>0`

Ez egy másodfokú egyenlőtlenség, amelyet, ha függvénynek tekinted, akkor – mivel x² előjele negatív – a két megoldása közötti tartományban lesz az értéke nagyobb nullánál. Vagyis először megoldod, mint másodfokú egyenletet.

`-x^2+5x=0`

`x(-x+5)=0`

Szorzat akkor lehet nulla, ha egyik tényezője nulla.

`x_1=0`

`-x+5=0`

`x_2=5`

Eszerint az egyenlőtlenség baloldala, akkor lesz nagyobb nullánál, ha:

`0<x<5`

A másiknál hasonlóképpen jársz el. Először megoldod, mint másodfokú egyenletet:

`x^2+0,5x-3=0`

`x={0,5±sqrt{0,25+12}}/2={0,5±3,5}/2`

`x_1={0,5+3,5}/2=2`

`x_2={0,5-3,5}/2=-1,5`

Ennél x² előjele pozitív, ezért ennek a függvénynek az értéke a két megoldása közötti tartományban lesz kisebb nullánál, amely az egyenlőtlenség alapján így írható fel:

`-1,5≤x≤2`

Azt kell megkeresni, hogy a két (0<x<5 és −1,5≤x≤2) feltételnek hol van a közös tartománya. Ez pedig:

`0<x≤2`

Ha a két függvényt ábrázolod, akkor szemléletesen látszik a megoldás, a zöld az y=−x²+5x, a piros az y=x²−0,5x−3.