Térfogat számítás

14a

Célszerű felrajzolni az ismert pontokat egy koordináta rendszerbe. Az egyenes egyenlete általános esetben: y=mx+b.

Az egyenes meredeksége: `m={Δy}/{Δx}={y_1-y_2}/{x_1-x_2}`

Az AB egyenes esetén: `y_1=0,` `y_2=3,` `x_1=-6,` `x_2=2`

Az AB egyenes meredeksége: `m={y_1-y_2}/{x_1-x_2}={0-3}/{-6-2}=3/8`

A BC egyenes esetén: `y_1=3,` `y_2=8,` `x_1=2,` `x_2=-2`

A BC egyenes meredeksége: `m={y_1-y_2}/{x_1-x_2}={3-8}/{2-(-2)}=-5/4`

A D pont koordinátáinak meghatározásához fel kell írni az AD és a CD egyenesek egyenleteit. A paralelogramma szemben levő oldalai párhuzamosak. Ezért az ezeket alkotó egyenesek meredeksége megegyezik a szemben levő oldalak meredekségével. Eszerint az AD egyenes meredeksége megegyezik a szemben levő BC egyenes meredekségével:

`m=-5/4`

A b értéke az A pont koordinátáinak behelyettesítésével számítható (x=−6, y=0):

`0=(-5/4)*(-6)+b`

`b=-"7,5"`

Eszerint az AD egyenes egyenlete: `y_{AD}=-5/4x-"7,5"`

Hasonlóképpen a CD egyenes meredeksége megegyezik az AB egyenes meredekségével:

`m=3/8`

A b értéke a C pont koordinátáinak behelyettesítésével számítható (x=−2, y=8):

`8=3/8*(-2)+b`

`b="8,75"`

Eszerint a CD egyenes egyenlete: `y_{CD}=3/8x+"8,75"`

A D pont koordinátái úgy számíthatók, hogy megkeressük az AD és CD egyenesek metszéspontját. Ez az AD és CD egyenesek egyenleteinek, mint kétismeretlenes egyenletrendszernek a megoldása lesz.

`y=-5/4x-"7,5"`

`y=3/8x+"8,75"`

Az első egyenletből helyettesítsük be y értékét:

`-5/4x-"7,5"=3/8x+"8,75"`

Mindkét oldalt szorozzuk 8-cal:

`-10x-60=3x+70`

`-13x=130`

`x=-10`

Ezt behelyettesítve például az első egyenletbe:

`y=-5/4*(-10)-"7,5"="12,5"-"7,5"=5`

A D pont koordinátái: D(−10;5)

14b
Megadták az egyenes meredekségét, m=0,25. Eddig ez ismert:
y=0,25x+b
Megadták még, hogy átmegy a C ponton, amelyre x=−2 és y=8. Ezeket behelyettesítve a fenti egyenletbe:
8=0,25·(−2)+b
8=−0,5+b
b=8,5
Eszerint a kérdéses egyenlet:
y=0,25x+8,5
Ez a rajzon a zöld egyenes.

14c
A paralelogramma kerületének számításához meg kell határozni két, egymás mellett levő oldalának a hosszát. Ez Pitagorasz tételével számítható. Az A pontból a B pontig x irányban haladunk 8-at, y irányban 3-at, így az AB oldal hossza:

`AB=sqrt{8²+3²}=sqrt73≈"8,544"` egység

A B pontból a C pontig x irányban haladunk 4-et, y irányban 5-öt, így a BC oldal hossza:

`BC=sqrt{4²+5²}=sqrt41≈"6,403"` egység

A paralelogramma kerülete: k=2·(AB+BC)=2·(8,544+6,403)=29,894 egység.
Ezt egy tizedes pontossággal kérdezték, vagyis k≈29,9 egység.

14d
A rajzon lilával van jelölve a kúp nézete. Ebből látszik, hogy a magassága 8 egység az alapjának sugara 3 egység. A térfogata:

`V={r²*π*m}/3={3²*π*8}/3≈"75,4"` térfogategység