Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek sos
Oli08
kérdése
290
3,4,5be valaki segítsen fontos
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
8
Rantnad{ }
válasza
Mennyire problémásak ezek? Belekezdeni sikerült?
0
k.d00016g:
Nekem is ebbe kellene segíteni
6 éve0
Rantnad{ }
válasza
3. Az első egyenletben írjuk át a jobb oldalt x alapú logaritmusra: 2=logx(x²), tehát:
logx(2x+y) = logx(x²), majd itt hivatkozunk a logaritmusfüggvény szigorú monotonitására:
2x+y = x², ezt y-ra rendezve y = x²-2x-et kapjuk. Ezt írjuk be y helyére a második egyenletben:
log₂(x*(x²-2x)) - log₂(x²-2x-x) = 3, használjuk a log₂(a)-log₂(b)=log₂(a/b) azonosságot:
log₂((x*(x²-2x))/(x²-2x-x)) = 3, és a jobb oldalt írjuk át 2-es alapú logaritmusra: 3=log₂8:
log₂((x*(x²-2x))/(x²-2x-x)) = log₂8, a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt:
(x*(x²-2x))/(x²-2x-x) = 8, ezt az egyenletet már meg tudod oldani. Ne felejtsd el a megoldásokat visszahelyettesíteni az eredeti egyenletbe.
0
Még nem érkezett komment!
Rantnad{ }
válasza
4. log₂(xy) és log₂(x/y) akkor értelmes, hogyha vagy x és y is pozitív, vagy mindkettő negatív. Vizsgáljuk előbb az elsőt, vagyis ha mindenki pozitív, ekkor gond nélkül felírhatóak ezek a kifejezések és az első egyenlet jobb oldala az azonosságok szerint, így az első egyenlet így fog kinézni:
Ha (log₂(x)-log₂(y))=0, vagyis ha x=y, akkor az egyenletből 0=0 lesz, ami igaz. Nézzük ekkor a második egyenletet:
x*x-4*(x+x) =0, vagyis
x²-8x = 0, ennek megoldása x=0 és x=8, de az x=0 nem lehet, és mivel x=y, ezért y=8, így az egyik megoldás: x=8 és y=8.
Ha x≠y, akkor tudunk osztani log₂(x)-log₂(y)-nal:
log₂(x)+log₂(y) = 2, az összeget írjuk vissza az előbbi alakra, a jobb oldalt pedig 2-es alapú logaritmusra:
log₂(x*y) = log₂4, a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt
xy=4, a másik egyenlet
xy-4*(x+y) = 0, ez az egyenletrendszer már könnyedén megoldható (de itt sem felejtsünk el visszahelyettesíteni az eredeti egyenletrendszerbe).
A második eset, amikor mindkettő negatív, ekkor az átírás során meg kell változtatnunk a logaritmuson belül az értéket, mivel ha például log₂((-2)*(-4)) lenne, ami log₂8, akkor átírás után nem lehet log₂(-2)*log₂(-4), mivel a tényezők így nem értelmezhetőek. Ehelyett a szétbontást úgy végezzük, hogy mindenhol kap egy mínuszt mindegyik ismeretlen, és ugyanez igaz lesz a jobb oldali egyenletre is:
(log₂(-x)+log₂(-y))*(log₂(-x)-log₂(-y)) = 2*(log₂(-x)-log₂(-y)), itt is igaz az, hogy ha x=y, akkor az egyenletből 0=0 lesz, így a második egyenlet:
x*x-4*(x+x) = 0, ennek ugyanúgy x=0 és x=8 a megoldásai, azonban ebben az esetben ezek nem lesznek megoldások, mivel úgy kezdtük a számolást, hogy x negatív.
Marad az, hogy x≠y, ekkor itt is osztunk: (log₂(-x)+log₂(-y)) = 2, és ha ezt visszaírjuk az eredeti alakba, akkor ugyanazt az egyenletrendszert kapjuk, mint az előbb, annyi különbséggel, hogy itt most a negatív megoldásokat keressük.
0
k.d00016g:
ezt nem igazán értem
6 éve0
k.d00016g:
honnét jött az hogy x=y?
6 éve0
Rantnad{ }
válasza
Érdemesebb az első egyenletből kiindulni; emeljük mindkét oldalt négyzetre:
(xlogx²(y)*ylogy²(x))² = 8
A hatványozás azonossága szerint tényezőnként hatványozhatunk, valamint azt is tudjuk, hogy a kitevők szabadon cserélgethetőek a hatványon belül, ezért ilyen alakra hozzuk:
(x²)logx²(y)*(y²)logy²(x) = 8
A bal oldalon található szorzat első tényezőjének értéke definíció szerint y, a másodiké x, így:
y*x=8 egyenletet kapjuk. Ez a másikkal egybevetve már könnyedén megoldható egyenletrendszert alkot.
Módosítva: 6 éve
0
Még nem érkezett komment!
Rantnad{ }
válasza
Oldd meg a log₂(x)-log₂(y)=0 egyenletet. Mi jön ki?
0
k.d00016g:
x=y
6 éve0
k.d00016g:
de miért tűnik el az egyenlőség után az egyenlet
6 éve0
k.d00016g:
és utána írtad hogy 0=0 miből következtetted, hogy 0 lesz?
6 éve0
k.d00016g:
ne haragudj nagyon nem értem mi történt itt :(
6 éve0
Rantnad{ }
válasza
Mivel ismeretlennel akarunk osztani, és a 0-val való osztás nem túl kellemes, ezért meg kell vizsgálni, hogy amivel osztani akarunk, az lehet-e 0, és ha igen, akkor mikor. Ezzel csak ezt tettük meg.
Egy egyszerűbb példán lehet, hogy jobban megérted; legyen az egyenlet:
(x+5)*(2x-2)=(x-3)*(x+5), látható, hogy mindkét oldalon megtalálható az (x+5), így osszunk le vele:
2x-2=x-3, így x=-1 lesz a megoldás. Igen ám, de az (x+5)-tel való osztás nem értelmes akkor, hogyha annak értéke 0, vagyis ha x=-5, és látható, hogy ekkor az egyenletből 0=0 lesz, így ez is megoldása a feladatnak, tehát ha ezt a nem mellékes mellékszálat nem vizsgáltuk volna meg, akkor a megoldás során az x=-5 elveszett volna (persze megoldható máshogyan is, például úgy, hogy átvisszünk mindenkit ugyanarra az oldalra és kiemelünk, de van, amikor egyszerűbb osztani és külön vizsgálni).
0
k.d00016g:
és akkor elég ha úgy elkezdem felírni hogy 1. eset: log2 x-log2 y=0 ebből kijön hgy x=y aztán ez alá odaírom hogy 0=0 tehát nem megoldás aztán írom a következő esetet?
6 éve0
Rantnad{ }
válasza
Nem; pont azért lesz megoldás, mivel értelemszerűen a 0=0 egyenlőség igaz. Ezzel is számoltam tovább, amire kijött az x=y=8 megoldás. A másik esetben azokat a megoldásokat kerestük, ahol x≠y, tehát a log₂x-log₂y értéke nem 0, ekkor büntetlenül lehet osztani.
0
k.d00016g:
akkor úgy jó lesz ha annyit írok h első esetben 0=0 aztán msodik eset x=Y=8
6 éve0
Rantnad{ }
válasza
Nem. Az x=y=8 pont abból adódik, hogy amivel osztani akarunk, annak az értéke 0.
Az első eset az, amikor x=y, a második az, hogy x≠y.