Matek sos

Mennyire problémásak ezek? Belekezdeni sikerült?

3. Az első egyenletben írjuk át a jobb oldalt x alapú logaritmusra: 2=logx(x²), tehát:

logx(2x+y) = logx(x²), majd itt hivatkozunk a logaritmusfüggvény szigorú monotonitására:
2x+y = x², ezt y-ra rendezve y = x²-2x-et kapjuk. Ezt írjuk be y helyére a második egyenletben:

log₂(x*(x²-2x)) - log₂(x²-2x-x) = 3, használjuk a log₂(a)-log₂(b)=log₂(a/b) azonosságot:

log₂((x*(x²-2x))/(x²-2x-x)) = 3, és a jobb oldalt írjuk át 2-es alapú logaritmusra: 3=log₂8:

log₂((x*(x²-2x))/(x²-2x-x)) = log₂8, a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt:

(x*(x²-2x))/(x²-2x-x) = 8, ezt az egyenletet már meg tudod oldani. Ne felejtsd el a megoldásokat visszahelyettesíteni az eredeti egyenletbe.

4. log₂(xy) és log₂(x/y) akkor értelmes, hogyha vagy x és y is pozitív, vagy mindkettő negatív. Vizsgáljuk előbb az elsőt, vagyis ha mindenki pozitív, ekkor gond nélkül felírhatóak ezek a kifejezések és az első egyenlet jobb oldala az azonosságok szerint, így az első egyenlet így fog kinézni:

(log₂(x)+log₂(y))*(log₂(x)-log₂(y)) = 2*log₂(x)-2*log₂(y)

A jobb oldalon emeljünk ki 2-t:

(log₂(x)+log₂(y))*(log₂(x)-log₂(y)) = 2*(log₂(x)-log₂(y))

Ha (log₂(x)-log₂(y))=0, vagyis ha x=y, akkor az egyenletből 0=0 lesz, ami igaz. Nézzük ekkor a második egyenletet:

x*x-4*(x+x) =0, vagyis
x²-8x = 0, ennek megoldása x=0 és x=8, de az x=0 nem lehet, és mivel x=y, ezért y=8, így az egyik megoldás: x=8 és y=8.

Ha x≠y, akkor tudunk osztani log₂(x)-log₂(y)-nal:

log₂(x)+log₂(y) = 2, az összeget írjuk vissza az előbbi alakra, a jobb oldalt pedig 2-es alapú logaritmusra:

log₂(x*y) = log₂4, a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt

xy=4, a másik egyenlet
xy-4*(x+y) = 0, ez az egyenletrendszer már könnyedén megoldható (de itt sem felejtsünk el visszahelyettesíteni az eredeti egyenletrendszerbe).

A második eset, amikor mindkettő negatív, ekkor az átírás során meg kell változtatnunk a logaritmuson belül az értéket, mivel ha például log₂((-2)*(-4)) lenne, ami log₂8, akkor átírás után nem lehet log₂(-2)*log₂(-4), mivel a tényezők így nem értelmezhetőek. Ehelyett a szétbontást úgy végezzük, hogy mindenhol kap egy mínuszt mindegyik ismeretlen, és ugyanez igaz lesz a jobb oldali egyenletre is:

(log₂(-x)+log₂(-y))*(log₂(-x)-log₂(-y)) = 2*(log₂(-x)-log₂(-y)), itt is igaz az, hogy ha x=y, akkor az egyenletből 0=0 lesz, így a második egyenlet:

x*x-4*(x+x) = 0, ennek ugyanúgy x=0 és x=8 a megoldásai, azonban ebben az esetben ezek nem lesznek megoldások, mivel úgy kezdtük a számolást, hogy x negatív.

Marad az, hogy x≠y, ekkor itt is osztunk: (log₂(-x)+log₂(-y)) = 2, és ha ezt visszaírjuk az eredeti alakba, akkor ugyanazt az egyenletrendszert kapjuk, mint az előbb, annyi különbséggel, hogy itt most a negatív megoldásokat keressük.

Érdemesebb az első egyenletből kiindulni; emeljük mindkét oldalt négyzetre:

(xlogx²(y)*ylogy²(x))² = 8

A hatványozás azonossága szerint tényezőnként hatványozhatunk, valamint azt is tudjuk, hogy a kitevők szabadon cserélgethetőek a hatványon belül, ezért ilyen alakra hozzuk:

(x²)logx²(y)*(y²)logy²(x) = 8

A bal oldalon található szorzat első tényezőjének értéke definíció szerint y, a másodiké x, így:

y*x=8 egyenletet kapjuk. Ez a másikkal egybevetve már könnyedén megoldható egyenletrendszert alkot.

Oldd meg a log₂(x)-log₂(y)=0 egyenletet. Mi jön ki?

Mivel ismeretlennel akarunk osztani, és a 0-val való osztás nem túl kellemes, ezért meg kell vizsgálni, hogy amivel osztani akarunk, az lehet-e 0, és ha igen, akkor mikor. Ezzel csak ezt tettük meg.

Egy egyszerűbb példán lehet, hogy jobban megérted; legyen az egyenlet:

(x+5)*(2x-2)=(x-3)*(x+5), látható, hogy mindkét oldalon megtalálható az (x+5), így osszunk le vele:
2x-2=x-3, így x=-1 lesz a megoldás. Igen ám, de az (x+5)-tel való osztás nem értelmes akkor, hogyha annak értéke 0, vagyis ha x=-5, és látható, hogy ekkor az egyenletből 0=0 lesz, így ez is megoldása a feladatnak, tehát ha ezt a nem mellékes mellékszálat nem vizsgáltuk volna meg, akkor a megoldás során az x=-5 elveszett volna (persze megoldható máshogyan is, például úgy, hogy átvisszünk mindenkit ugyanarra az oldalra és kiemelünk, de van, amikor egyszerűbb osztani és külön vizsgálni).

Nem; pont azért lesz megoldás, mivel értelemszerűen a 0=0 egyenlőség igaz. Ezzel is számoltam tovább, amire kijött az x=y=8 megoldás. A másik esetben azokat a megoldásokat kerestük, ahol x≠y, tehát a log₂x-log₂y értéke nem 0, ekkor büntetlenül lehet osztani.

Nem. Az x=y=8 pont abból adódik, hogy amivel osztani akarunk, annak az értéke 0.

Az első eset az, amikor x=y, a második az, hogy x≠y.