Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Analízis - mesés fejtörő:)
emese-papp
{ Polihisztor } kérdése
283
a)
Egyszer volt, hol nem volt, volt egyszer egy varázslatos, soha véget nem érő szálloda. Ebben a szállodában végtelen sok szoba volt. Tényleg annyi, hogy még megszámolni sem lehetett őket! És képzeljétek gyerekek: minden egyes szobában lakott már egy vendég. Egyetlen üres szoba sem maradt!
Egy nap azonban megérkezett egy új vendég, és bekopogott a recepcióra.
— Jó napot kívánok! Szeretnék egy szobát! — mondta mosolyogva az új vendég.
— Ó, kedves uram... — nézett rá a recepciós kedvesen — minden szobánk foglalt.
— Az összes? Egyetlenegy sem üres?
— Egyetlenegy sem. Nálunk végtelen sok vendég lakik.
— Akkor most mi lesz velem? Nem alhatok itt?
b)
Az új vendég végül boldogan beköltözött. A recepciós büszkén mosolygott. Ám másnap reggel furcsa dolog történt. Az út végén porfelhő jelent meg, és egy hatalmas, soha véget nem érő busz gördült a szálloda elé. A buszon végtelen sok ülés volt... és minden ülésen ült egy-egy új vendég!
A busz ajtaja kinyílt, és az első utas leszállt.
— Jó napot! Mindannyian szobát szeretnénk! — mondta vidáman.
A recepciós nagyot pislogott.
— Mindannyian?
— Igen! A buszunkon végtelen sokan vagyunk!
A recepciós az épületre nézett.
— De hát... nálunk már most is végtelen sok vendég lakik...
Az egyik utas szomorúan megkérdezte:
— Akkor most nem férünk be?
c)
A második nap után mindenki azt hitte, ennél furcsább már nem történhet. De harmadnap reggel... a recepciós arra ébredt, hogy remeg a föld. Kinézett az ablakon, és majdnem elejtette a szemüvegét. Nem egy busz érkezett. Nem kettő. Nem tíz. Végtelen sok busz közeledett az úton!
És képzeljétek gyerekek: minden egyes buszon végtelen sok ülés volt és minden ülésen ült egy-egy új vendég! Az első busz első utasa leszállt, és így szólt:
— Jó napot! Mi az első buszról jöttünk!
A második busz első utasa is integetett:
— Mi a másodikról!
A harmadik buszról is kiabált valaki:
— És mi a harmadikról!
A recepciós csak kapkodta a fejét.
— Egy busznyit végtelen vendég... az még csak-csak... — motyogta. — De végtelen sok busz, mindegyiken végtelen sok vendéggel?!
Az egyik aprócska utas felnézett rá:
— Ugye jut nekünk is hely?
Egyszer volt, hol nem volt, volt egyszer egy varázslatos, soha véget nem érő szálloda. Ebben a szállodában végtelen sok szoba volt. Tényleg annyi, hogy még megszámolni sem lehetett őket! És képzeljétek gyerekek: minden egyes szobában lakott már egy vendég. Egyetlen üres szoba sem maradt!
Egy nap azonban megérkezett egy új vendég, és bekopogott a recepcióra.
— Jó napot kívánok! Szeretnék egy szobát! — mondta mosolyogva az új vendég.
— Ó, kedves uram... — nézett rá a recepciós kedvesen — minden szobánk foglalt.
— Az összes? Egyetlenegy sem üres?
— Egyetlenegy sem. Nálunk végtelen sok vendég lakik.
— Akkor most mi lesz velem? Nem alhatok itt?
b)
Az új vendég végül boldogan beköltözött. A recepciós büszkén mosolygott. Ám másnap reggel furcsa dolog történt. Az út végén porfelhő jelent meg, és egy hatalmas, soha véget nem érő busz gördült a szálloda elé. A buszon végtelen sok ülés volt... és minden ülésen ült egy-egy új vendég!
A busz ajtaja kinyílt, és az első utas leszállt.
— Jó napot! Mindannyian szobát szeretnénk! — mondta vidáman.
A recepciós nagyot pislogott.
— Mindannyian?
— Igen! A buszunkon végtelen sokan vagyunk!
A recepciós az épületre nézett.
— De hát... nálunk már most is végtelen sok vendég lakik...
Az egyik utas szomorúan megkérdezte:
— Akkor most nem férünk be?
c)
A második nap után mindenki azt hitte, ennél furcsább már nem történhet. De harmadnap reggel... a recepciós arra ébredt, hogy remeg a föld. Kinézett az ablakon, és majdnem elejtette a szemüvegét. Nem egy busz érkezett. Nem kettő. Nem tíz. Végtelen sok busz közeledett az úton!
És képzeljétek gyerekek: minden egyes buszon végtelen sok ülés volt és minden ülésen ült egy-egy új vendég! Az első busz első utasa leszállt, és így szólt:
— Jó napot! Mi az első buszról jöttünk!
A második busz első utasa is integetett:
— Mi a másodikról!
A harmadik buszról is kiabált valaki:
— És mi a harmadikról!
A recepciós csak kapkodta a fejét.
— Egy busznyit végtelen vendég... az még csak-csak... — motyogta. — De végtelen sok busz, mindegyiken végtelen sok vendéggel?!
Az egyik aprócska utas felnézett rá:
— Ugye jut nekünk is hely?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
sorozatok, analízis, végtelen, sorok
sorozatok, analízis, végtelen, sorok
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
gyula205
megoldása
Mind a három kérdésre hasonló választ adhatunk. a.) esetén a szobák vendégeinek áthelyezésével elhelyezhető az új vendég. A kérdések a megszámlálhatóan végtelen halmazokkal kapcsolatosak. Egy megszámlálható halmaz elemei esetleges ismétléssel sorozatba rendezhetõk. És ez a tulajdonség nem változik, ha véges számú elemmel bővítjük őket. (Ezt itt konkrétabban úgy képzelhetjük el, hogy a szálloda vendégeit sorozatba rendezzük. Legyen ez a `a_1`, `a_2`, `a_3,``...`,`a_n`,`...`, stb. sorozat. Akkor az átrendezés után kapjuk a `c_1=v`, `c_2=a_1`, `c_3=a_2,``...`,`c_n=a_{n-1}`,`...`, stb. sorozatot, ahol `v` jelöli az érkezett új vendéget) Véges számú megszámláhatóan végtelen halmaz számossága is megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaz lesz. (Ez a tulajdonság az alapja a b.) kérdésre adandó válasznak. Nemcsak a szálloda vendégeit rendezzük sorozatba, hanem a busz utasait is. Legyen ez a `b_1`, `b_2`, `b_3,``...`,`b_n`,`...`, stb. sorozat. Akkor az átrendezés után kapjuk a `c_1=a_1`, `c_2=b_1`, `c_3=a_2`, `c_4=b_2`, `...`,`c_{2n-1}=a_n`,`c_{2n}=b_n`,`...`, stb. sorozatot) Megszámlálható sok diszjunkt `A_i` halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor az egyesítésük szintén megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaz lesz. (Ez a tulajdonság az alapja a c.) kérdésre adandó válasznak. Vissza vezetjük ezt a problémát arra az esetre, amikor a Cantor-féle átlós módszerrel sorba rendeztük a pozitív racionális számokat. Olyan végtelen mátrixot "készítünk", amelynek első sorában a hotel lakói szerepelnek, a második sorában az első busz utasai, a harmadik sorában a második busz utasai, majd az `n`-edik sorában pedig az `n-1`-edik busz utasai szerepelnek stb. )
A matematikatörténet ezt Hilbert-hotel problémának nevezi és ezt a gondolatkísérletet David Hilbert német matematikus vetette fel egy 1924-es tanulmányában, és George Gamow 1947-ben megjelent „One, Two, Three… Infinity” című könyvéből vált ismertté a szélesebb rétegek számára is. Javaslom, hogyaz interneten keressétek meg a "A végtelenen túl" c. tanulmányt Moldvai Dávidtól.
https://youproof.hu/szamossag-hilbert-hotel-georg-cantor-megszamlalhatoan-vegtelen-kontinuum-cantor-tetel-kardinalis-szam-kontinuum-hipotezis/
A matematikatörténet ezt Hilbert-hotel problémának nevezi és ezt a gondolatkísérletet David Hilbert német matematikus vetette fel egy 1924-es tanulmányában, és George Gamow 1947-ben megjelent „One, Two, Three… Infinity” című könyvéből vált ismertté a szélesebb rétegek számára is. Javaslom, hogyaz interneten keressétek meg a "A végtelenen túl" c. tanulmányt Moldvai Dávidtól.
https://youproof.hu/szamossag-hilbert-hotel-georg-cantor-megszamlalhatoan-vegtelen-kontinuum-cantor-tetel-kardinalis-szam-kontinuum-hipotezis/
Módosítva: 3 hónapja
1
- Még nem érkezett komment!