Szia!

A bizonyítást sajnos nem tudom, így azt másra hagynám, más matekos segítőre!
A szögekre felírható, hogy: β+(β+30⁰)+60⁰=180⁰ , ebből 2·β=90⁰, tehát β=45⁰ és α=(45⁰+30⁰)=75⁰ adódik a szögekre!
Koszinusztétellel:
(1) : (a+b)²/4=a²+b²-2·a·b·cos 60⁰ , ebből a²+2ab+b²=4a²+4b²-4ab , tehát 3a²+3b²=6ab → 3×(a/b)+3×(b/a)=6 jön ki egyenletnek, vagyis (a/b)+(b/a)=2 , ebből meg az adódik, hogy a=b ! Ez nem lehetséges! Mert akkor c=a=b jönne ki!
(2): b²=a²+c²-2·a·c·cos 45⁰ → felhasználva az előző eredményt c=2·a·(√2/2)=(a·√2) fog adódni!
(3): a²=b²+c²-2·b·c·cos 75⁰ → c=2·b·0,2588=(0,5176·b) fog adódni!

A (2) és (3) egyenletekből adódott eredmény felhasználásával: 2,8284·a=(a+b) , tehát b=(1,8284·a) eredményt kapjuk!

A keresett arány tehát így: a:b:c= 1:1,83:1,41 körülbelül (vagy közelítőleg)!