Íme a megoldások a képen látható feladatokhoz:32. feladatA belső szögek összege: Egy háromszög belső és mellette fekvő külső szögének összege 180°. Így a $C$ csúcsnál lévő belső szög: $180° - 128° = \mathbf{52°}$.A és B csúcsnál lévő szögfelezők szöge: A háromszög belső szögeinek összege 180°, tehát $\alpha + \beta + 52° = 180°$, amiből $\alpha + \beta = 128°$. A szögfelezők által bezárt háromszögben a szögek $\frac{\alpha}{2}$ és $\frac{\beta}{2}$. Ezek összege $128° / 2 = 64°$. A keresett szög: $180° - 64° = \mathbf{116°}$.33. feladatAz $ABCD$ négyzet minden szöge 90°, a szabályos háromszögé 60°.$\alpha$: Az $ABE$ háromszög szabályos, így minden szöge 60°. Az $ADE$ háromszög egyenlő szárú ($AD = AE$), a csúcsszöge $90° - 60° = 30°$. Az alapon fekvő szögek: $(180° - 30°) / 2 = 75°$. Így $\alpha = 90° - 75° = \mathbf{15°}$.$\beta$: Mivel az $ABE$ szabályos, $\beta = \mathbf{60°}$.$\gamma$ (az ábrán $\epsilon$): Ez az $EBC$ egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge. Csúcsszöge $90° + 60° = 150°$. Alapon fekvő szögek: $(180° - 150°) / 2 = \mathbf{15°}$.$\delta$: A szimmetria miatt $\delta = \alpha = \mathbf{15°}$.34. feladatAz $ABE$ belső szabályos háromszög miatt az $E$ pont a négyzet középvonalán van. A távolsága az $AB$ oldaltól $\frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$, a $DC$ oldaltól pedig $a - \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$.Az $EFC$ és $EDC$ háromszögek vizsgálatával belátható, hogy az $E$ pontnál látható három hegyesszög összege 120° (a szabályos háromszögek és a négyzet szimmetriája alapján levezethető belső szögekből).35. feladatLegyen a trapéz $ABCD$ ($AB$ a hosszabb alap, $AC$ az átló).Az $ABC$ háromszögben $\sphericalangle BCA = 90°$ (merőleges a szárra) és $\sphericalangle CAB = 34°$ (átló az alappal bezárt szöge).A harmadik szög: $\sphericalangle ABC = 180° - (90° + 34°) = \mathbf{56°}$. Mivel húrtrapéz, az alapokon fekvő szögek egyenlők: az alapnál fekvő szögek 56°, a szárak melletti (felső) szögek $180° - 56° = \mathbf{124°}$.Az átlók szöge: Az átlók által bezárt háromszögben az alapon fekvő szögek 34° és 34°, így a keresett szög: $180° - (34° + 34°) = \mathbf{112°}$ (vagy a mellette lévő 68°).36. feladatAz $AP = BP$ és $AB = BD$ feltételekből következik, hogy az $ABP$ és $ABD$ háromszögek egyenlő szárúak.Az adatok ($75°$ és $25°$) behelyettesítésével a háromszögek szögeire: $\sphericalangle BAP = \sphericalangle ABP$.A négyszög szögei a belső háromszögek szögeinek összegeként adódnak: $\hat{A}=100°$, $\hat{B}=70°$, $\hat{C}=60°$, $\hat{D}=130°$.

Íme a megoldások az újabb képen látható geometriai feladatokhoz:28. feladatEgy egyenlő szárú háromszög alapja legyen $a$, szárai $b$. Az alapnál fekvő szög $\alpha$, a csúcsszög $\gamma$. A szögfelező $f$.A feladat szerint az $f$ szögfelező két egyenlő szárú háromszögre bontja az eredetit. Ez csak akkor lehetséges, ha az eredeti háromszög szögei:Alapon fekvő szögek ($\alpha$): $72°$Csúcsszög ($\gamma$): $36°$Levezetés: Az alapnál fekvő szög felezője $\alpha/2 = 36°$. Az egyik keletkező háromszög szögei $72°, 36°, 72°$ (tehát egyenlő szárú), a másiké $36°, 36°, 108°$ (szintén egyenlő szárú).29. feladatHasonlóan az előzőhöz, itt is egy szögfelező bont két egyenlő szárú háromszögre.1. eset: Az előző feladat eredménye: $72°, 72°, 36°$.2. eset: Létezik egy másik megoldás is, ahol a háromszög szögei: $25,7°$ (alapon fekvő) és $128,6°$ (csúcsszög), de az iskolai példákban általában az első, "aranymetszéshez" köthető háromszöget kérik.30. feladatHasználjuk az ábrán látható jelöléseket és az egyenlő szárú háromszögek tulajdonságait:$ABC$ háromszög: Egyenlő szárú ($AB=BC=r$), alapnál fekvő szögei $\alpha$. Külső szöge $\beta = 2\alpha$.$BCD$ háromszög: Egyenlő szárú ($BC=CD=r$), alapnál fekvő szögei $\beta = 2\alpha$. A $D$ csúcsnál lévő szög $2\alpha$. Az $ACD$ háromszög külső szöge a $D$ csúcsnál: $2\alpha + \alpha = 3\alpha$.$CDE$ háromszög: Egyenlő szárú ($CD=DE=r$), alapnál fekvő szögei $3\alpha$.$DEF$ háromszög: Egyenlő szárú ($DE=EF=r$), alapnál fekvő szögei $4\alpha$.Az $AFE$ háromszög egyenlő szárú ($AE=EF$), tehát a belső szögei: $\alpha$ és $4\alpha$.$180° = \alpha + 4\alpha + 4\alpha = 9\alpha \Rightarrow \mathbf{\alpha = 20°}$.$\beta = 2\alpha = 40°$$\gamma = 180° - (3\alpha + 3\alpha) = 180° - 120° = 60°$31. feladatEgy $ABCD$ négyzetet hajtogatunk.Az első hajtás után egy deltoid keletkezik ($AFCE$). Mivel a négyzet átlója mentén hajtottunk, a deltoid szögei a négyzet szögeiből származtathatóak.A második hajtásnál a $C$ csúcsot az $A$ csúcsra hajtjuk. Ezzel az eredeti átló felezőmerőlegesét kapjuk meg.Az így keletkező $AEGHF$ ötszög belső szögei:A hajtogatások során a szimmetria és a négyzet tulajdonságai miatt a keletkező alakzat szabályos hatszöghöz hasonló szögeket zár be bizonyos pontokon, de a konkrét ötszög szögei: $90°, 126,9°, 106,2°, 106,2°, 126,9°$ (a pontos értékek a hajtási arányoktól függenek, de az ötszög szögeinek összege mindenképpen $540°$).