5. Feladat: Függvények ábrázolása és jellemzése$f: [-2; 7] \to \mathbb{R}, \quad f(x) = -\frac{3}{4}x + 1$Típus: Lineáris függvény (egyenes szakasz).Értelmezési tartomány ($D_f$): $[-2; 7]$.Értékkészlet ($R_f$): $f(-2) = 2,5$ és $f(7) = -4,25$, tehát $[-4,25; 2,5]$.Zérushely: $-\frac{3}{4}x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \approx 1,33$.Menet: Szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományon.$g: [-6; 0] \to \mathbb{R}, \quad g(x) = -|x + 3| - 1$Típus: Abszolútérték-függvény.Tengelypont (csúcs): $(-3; -1)$.Értékkészlet ($R_g$): Mivel lefelé nyílik, a maximuma $-1$. Szélsőértékek a határokon: $g(-6) = -4$, $g(0) = -4$. Tehát $[-4; -1]$.Menet: Szigorúan monoton nő $[-6; -3]$ között, szigorúan monoton csökken $[-3; 0]$ között.$h: [0; 4] \to \mathbb{R}, \quad h(x) = 2(x - 1)^2 - 4$Típus: Másodfokú függvény (parabolaív).Tengelypont (csúcs): $(1; -4)$.Értékkészlet ($R_h$): A minimum $-4$. Szélsőértékek a határokon: $h(0) = -2$, $h(4) = 14$. Tehát $[-4; 14]$.Menet: Szigorúan monoton csökken $[0; 1]$ között, szigorúan monoton nő $[1; 4]$ között.5. Feladat (sorozatos):Szabály: $a_1 = 10$, majd felváltva $+2$ és $-3$.a) Első tíz tag:$10, \mathbf{12}, 9, \mathbf{11}, 8, \mathbf{10}, 7, \mathbf{9}, 6, \mathbf{8}$.(Megfigyelhető, hogy minden második lépés után az érték 1-gyel csökken: $10 \xrightarrow{+2-3} 9 \xrightarrow{+2-3} 8 \dots$)b) 59. tag ($a_{59}$):
A páratlan sorszámú tagok ($1., 3., 5. \dots$) számtani sorozatot alkotnak, ahol $d = -1$.
A sorszám eltolása: $n_{páratlan} = \frac{n+1}{2}$. Az 59. tag a páratlan sorozat 30. eleme.$a_{59} = 10 + (30 - 1) \cdot (-1) = 10 - 29 = \mathbf{-19}$.c) Első 47 tag összege:
Bontsuk 23 párra ($10+12, 9+11 \dots$) és a 47. tagra.
Egy pár összege: $S_{pár1} = 22, S_{pár2} = 20, S_{pár3} = 18 \dots$ (számtani sorozat, $d = -2$).$S_{23 \text{ pár}} = \frac{23 \cdot (22 + (22 \cdot -2))}{2} = \frac{23 \cdot (22 - 22)}{2}$ – ez nem jó megközelítés.
Helyesen: A páratlanok (24 db): $a_1=10, a_{47}=10-23 = -13 \Rightarrow \Sigma_{páratlan} = \frac{24(10-13)}{2} = -36$.
A párosok (23 db): $a_2=12, a_{46}=12-22 = -10 \Rightarrow \Sigma_{páros} = \frac{23(12-10)}{2} = 23$.Összeg: $-36 + 23 = \mathbf{-13}$.7. Feladat: RelációvizsgálatA természetes számok halmazán ($\mathbb{N}$) a "nagyobb vagy egyenlő" ($\ge$) reláció:Reflexív: Igen, mert minden $n$-re $n \ge n$ igaz.Antiszimmetrikus: Igen, mert ha $a \ge b$ és $b \ge a$, akkor ebből következik, hogy $a = b$.Tranzitív: Igen, mert ha $a \ge b$ és $b \ge c$, akkor $a \ge c$.Teljes: Igen, bármely két természetes szám összehasonlítható.Következtetés: Ez egy teljes (lineáris) rendezési reláció.