2. a)

`5x^2-7x=0`

`x(5x-7)=0`

Szorzat akkor lehet nulla, ha egyik tényezője nulla:

`x(5x-7)=0`

`x_1=0`

`5x-7=0`

`x_2=7/5="1,4"`

2. b)

`2x^2-50=0`

`2x^2=50`

`x^2=25`

`x_1=5`

`x_2=-5`

3.

`3x^2+5x-2=0`

Alkalmazod a megoldóképletet:


`x={-5±sqrt{5^2+4*2*3}}/6={-5±sqrt{25+24}}/6={-5±sqrt49}/6={-5±7}/6`

`x_1={-5+7}/6=2/6=1/3`

`x_2={-5-7}/6=-2`

4.

`4x^4-37x^2+9=0`

Ez az egyenlet x²-re nézve másodfokú.


`x^2={37±sqrt{37^2-4*4*9}}/8={37±sqrt{1369-144}}/8={37±sqrt1225}/8={37±35}/8`

`x_1^2={37+35}/8=9`

`x_2^2={37-35}/8="0,25"`

Még tovább kell folytatni:

`x_1^2=9`

`x_11=3`

`x_12=-3`

`x_2^2="0,25"`

`x_21="0,5"`

`x_22=-"0,5"`

Ezt `x^2=y` helyettesítéssel is megoldhatod.

5.

`47-x(3x+4)=2(17-2x)-62`

`109-3x^2-4x=34-4x`

`3x^2=75`

`x^2=25`

`x_1=5`

`x_2=-5`

6.

`x/{2x-1}-1/{2x+1}={x^2+12}/{4x^2-1}`


Felismered, hogy: `4x^2-1=(2x-1)(2x+1)`

Ezzel szorzod az egyenlet minkét oldalát:

`(2x+1)x-(2x-1)=x^2-12`

`2x^2+x-2x+1=x^2-12`

`x^2-x-11=0`


`x={1±sqrt{1+4*11}}/2={1±sqrt45}/2={1±3sqrt5}/2`


`x_1={1+3sqrt5}/2`

`x_2={1-3sqrt5}/2`

Még meg kell nézni, hogy:

`2x-1≠0`

`x≠1/2`

`2x+1≠0`

`x≠-1/2`

`4x^2-1≠0`

Mivel: `4x^2-1=(2x-1)(2x+1)`

Ebből szintén az adódik, hogy: `x≠1/2` és `x≠-1/2`

`x_1` és `x_2` ezektől eltér, vagyis mindkettő megoldása az egyenletnek.

1.

`y=x^2+8x+15`

Ezt felírhatod így: `y=x^2+8x+16-1`

Itt felismerheted, hogy: `x²+8x+16=(x+4)^2`

Ezek alapján az eredeti függvény felírható így:

`y=(x+4)^2-1`

Ez pedig már egyszerűen ábrázolhatod. Az y=x² függvényt eltolod az x tengely mentén negatív irányban négy egységgel, akkor megkapod az y=(x+4)² függvényt. Majd ezt eltolod az y tengely mentén egy egységgel negatív irányban. Ezzel megkapod az y=(x+4)²−1 függvényt, ami megfelel az y=x²+8x+15 függvénynek. Ehhez csatoltam egy rajzot, amelyen a kék az y=x², a piros az y=(x+4)², a zöld az y=(x+4)²−1.

A zérushely ott van, ahol a függvény metszi a x tengelyt. Ezt az x²+8x+15=0 egyenlet megoldásával kapod meg. Az előző példák alapján, remélem ezt már ki tudod számolni. A megoldás x1=−3 és x2=−5. Ezek a zérushelyek. Ez a függvény a zérushelyek középértékénél húzott függőleges egyenesre szimmetrikus és ezen a helyen van a szélső értéke. A zérushelyek középértéke:

`x={-3-5}/2=-4`

Ezt behelyettesítve a függvénybe megkapod a szélsőértéket:

`y=x^2+8x+15=(-4)^2+8*(-4)+15=16-32+15=-1`

A zérushelyeket és a szélsőértéket le is olvashatod a függvény képéről. Már rég tanultam ezeket, ezért nem tudom, hogy a szélsőértéket elég korrektül írtam-e le, ha nem, akkor átfogalmazhatod a mostani tananyag szerint.