Szia!

1. feladat megoldása:
a²+a²=32 és emiatt 2·a²=32 , tehát a=4 cm a négyzet oldala ;
a²+M²=137 , ebből M²=137-16=121 , azaz a téglatest magassága M=11 cm lesz.
A testátlója: (a·√2)²+M²=d² , tehát d²=32+121=153 , gyököt vonva d=√153=12,37 cm lesz a testátlója!

2. feladat megoldása:
a·(a+4)=45 , a²+4a-45=0 másodfokú egyenletet kapjuk, megoldásai : a₁₂=(-4±√(16+4×45))/2 kifejezésből a₁=5 cm, a₂=-9 cm, utóbbi nem jó, így nem megoldás (mert negatív), tehát c=(a+(a+4))/2=(a+2)=7 cm a harmadik éle.
A téglatest térfogata így: V=a·(a+4)·(a+2)=5·9·7=315 cm³ értékű lesz!
A téglatest felszíne pedig: A=2·((a·(a+4)+(a+4)·(a+2)+a·(a+2))=2·(45+63+35)=286 cm² értékű lesz!

3. feladat megoldása:
247=(13·b), ebből b=247/13=19 cm a téglalap másik oldala ; a 19 cm-es éle körül forgatunk, tehát R=13 cm és M=19 cm a henger alapkörének a sugara és magassága → V(henger)=(R²·π)·M=169×π×19=3211×π=10.087,654 cm³ a térfogata,
A(henger)=2·R²·π+2·R·π·M=1061,858+1551,947=2613,805 cm² lesz a henger felszíne!

4. feladat megoldása:
(R/2)²+x²=R² egyenletből x²=10,83 , azaz x=3,291 dm a síkmetszet sugara, tehát T(síkmetszet)=x²·π=34,023 cm² lesz a területe!

5. feladat megoldása:
a; pont: 12 cm-esek a négyzet oldalai, így a gúla alaplapjának az élei is!
Az oldallapok magasságai felírhatók (12·√3/2)=6×√3 cm alakban is, ezért: 6²+M²=(6×√3)² miatt M=√(108-36)=√72=6×√2 cm, azaz átszámítva M=8,485 cm értékű lesz!
b; pont: Ez a szög legyen α, és koszinusz-szögfüggvénnyel cos α=(6/(6×√3))=√3/3=0,5774 → α=54,74⁰ a szög értéke!
c; pont: A gúla oldaléle 12 cm, szintén, ezért felírható → cos β=(6×√2)/12= √2/2 , azaz β=45⁰ a keresett szög értéke!

6. feladat megoldása:
A képződött síkmetszetekre felírható: (6×√2)/6=m/x , tehát m=(√2·x) cm a kis gúla magassága, de x²+(√2·x)²=(10,392-b)² , két ismeretlenünk van, így ez nem jó, viszont tg φ=m/x=√2 , ezért φ=54,74⁰ → cos 54,74⁰=(x/(10,392-b)) , 0,5774×(10,392-b)=(6-0,5774b)=x írható fel.
A térfogatok arányára is felírható a következő: v/V= ((√2·x)/(6·√2))³ , rendezve v/V=(x³/216) → v=V×(x³/216) cm³ a kis, levágott gúla térfogata , a csonkagúla magasságára felírhatjuk, hogy (M-√2x)²+(6-x)²=b² → b=√(36-12x+x²+72-24x+2×(x a négyzeten))=√(108-36x+3x²)=(6-x)/0,5774 ! De 3x²=(10,392-b)² adódik, átrendezve 1,7321x=(10,392-b) , azaz b=(10,392-1,7321x) cm. Tudjuk, hogy a kis gúla magassága m=0,5×M=4,243 cm, tehát az x értéke 4,243=(1,4241×x) , melyből x=3 cm fog adódni! Mivel "b" a csonkagúla oldallapjainak a magassága, ez b=(10,392-5,1963)=5,196 cm fog lenni!

A kis gúla magassága tehát m=(√2×3)=4,243 cm értékű lesz, térfogata pedig → v(kis gúla)=(6²×4,243)/3=50,916 cm³ , míg a teljes gúla térfogata V(gúla)=((12²×(6×√2))/3=288·√2=407,294 cm³!
Emiatt a csonkagúla térfogata a kettő különbsége lesz, azaz : V(csonkagúla)=(407,294-50,916)=356,378 cm³ fog adódni!

A csonkagúla magassága (8,485-4,243)=4,242 cm értékű, az alaplap éle 12 cm, a fedőlap éle 6 cm értékű, tehát egy oldallapjának a területe (ha az oldallapok magassága b=5,196 cm) t(trapéz, 1)=((12+6)×5,196)/2= 46,764 négyzetcentiméter , ebből van 2 darab, és a másik oldallapokra ugyanez igaz (ismét 2 db oldallap) , így a felszín A(csonkagúla)=(4×46,764+144+36)=367,056 négyzetcentiméter fog kijönni!