Abszolutértékes egyenletek

Mivel az egyenlet különböző tagjai abszolútértékben vannak így biztos, hogy minden tag nemnegatív. Így tudjuk azt is, hogy az összeg akkor lehet nulla, ha mindhárom tag külön-külön is nulla. Ezáltal a tagokat külön-külön is egyenlővé tehetjük 0-val majd a kapott eredményt az x ismeretlenre rendezzük, hogy azt vizsgálni tudjuk visszahelyettesítéssel az eredeti egyenletbe.

`abs(x-1/x)=0=>x-1/x=0=>x^2=1=>x=+-1`

`abs(4-1/x)=0=>4-1/x=0=>1/x=4=>x=1/4`

`abs(x-4)=0=>x-4=0=>x=4`

Most, hogy megállapítottuk a feltételeket vizsgáljuk meg az egyenletet a lehetséges pontokon behelyettesítéssel.

`abs(1-1/1)-abs(4-1/1)+abs(1-4)=abs(1-1)-abs(4-1)+abs(1-4)=0-3+3=0` fennáll az egyenlőség így ez biztosan megoldás!

`abs(-1-(-1/1))-abs(4-(-1/1))+abs(-1-4)=abs(-1+1)-abs(4+1)+abs(-1-4)=0-5+5=0` fennáll az egyenlőség így ez is biztosan megoldás!

`abs(1/4-1/(1/4))-abs(4-1/(1/4))+abs(1/4-4)=abs(1/4-4)-abs(4-4)+abs(-15/4)=15/4+0+15/4=15/2` az egyenlőség nem áll fent így ez biztosan nem lehet megoldás!

`abs(4-1/4)-abs(4-1/4)+abs(4-4)=abs(4-4)=4-4=0` fennáll az egyenlőség így ez is biztosan megoldás!

Így a megoldás: `color(red)(x in [-1;0rangle \ cup \ [1;4])`; `xne0`

Találtam egy kicsit egzaktabb megoldást. Néhány (hat db.) diszjunkt intervallum, ahol az abszolútértékek felbonthatók.
`-oo`-től a `+oo` felé haladva nézzük meg ezt a hat esetet. Ha `x<-1`, akkor a ` - (x - 4) + (1/x - 4) - (x - 1/x)=frac{2(1-x^2)}{x}` függvényhez jutunk. Ha `-1 le x < 0`, akkor `- (x - 4) + (1/x - 4) + (x - 1/x)=0` és ha `0 < x le 1/4`, akkor `- (x - 4) - (1/x - 4) - (x - 1/x)=2(4-x)` függvényhez, míg ha `1/4 < x < 1`, akkor újból az `- (x - 4) + (1/x - 4) - (x - 1/x)=frac{2(1-x^2)}{x}` függvény egy másik ágát kapjuk eredményül. Ha `1 le x le 4`, akkor újból a `- (x - 4) + (1/x - 4) + (x - 1/x)=0` függvényhez, míg a `4 < x` esetén,
`(x - 4) + (1/x - 4) + (x - 1/x)=2x-8` függvényhez jutunk. Innen leolvasható az a két intervallum, amelyet már bazsa990608 is előállított. Az is kiolvasható, hogy a kérdéses függvény ugyan az x=0-ban nincs értelmezve, de ezen a helyen a bal oldali határérték 0, míg a jobb oldali határérték 8.