Python kód a megoldáshoz

from scipy.stats import hypergeom, binom

# Paraméterek
N = 500 # Összes termék
K = 100 # Hibás termékek száma
n = 50 # Mintaelemek száma
lower = 6 # Legalább ennyi hibás
upper = 10 # Legfeljebb ennyi hibás

# 1. Hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélkül)
prob_hyper = hypergeom.cdf(upper, N, K, n) - hypergeom.cdf(lower - 1, N, K, n)

# 2. Binomiális eloszlás (visszatevéssel)
p = K / N # Hibás valószínűsége
prob_binom = binom.cdf(upper, n, p) - binom.cdf(lower - 1, n, p)

# Eredmények
print(f"[Visszatevés nélkül] P({lower} ≤ X ≤ {upper}) = {prob_hyper:.4f} ({prob_hyper*100:.2f}%)")
print(f"[Visszatevéssel] P({lower} ≤ X ≤ {upper}) = {prob_binom:.4f} ({prob_binom*100:.2f}%)")

Visszatevés nélkül: 0.5451
Visszatevéssel: 0.5355


Ezeket közelíteni normális approximációval, a következő módon.

**Binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel)**
1 Középérték meghatározása:
μ = n p
ahol p = hibás/összes. Így:
μ = 100/500 = 0.2

2 Szórás:
σ = √ np (1-p)  = √ 8  ≈ 2.828

3 Kontinuitási korrekció
Mivel a binomiális eloszlás diszkrét, de a normális eloszlás folytonos, a valós értékeket "folytonossá" kell tenni. Ha X a hibás termékek száma:

P(6 ≤ X ≤ 10) ⇒ P(5.5 ≤ X ≤ 10.5)

4 Z-értékek számítása
Z = (X-μ)/σ
Alsó határ: Z_1 = -1.59
Felső határ: Z_2 = 0.177

5 A standard normális eloszlás táblázatából ki tudod keresni a valószínűséget.
P(Z ≤ -1.59) ≈ 0.0559
P(Z ≤ 0.177) ≈ 0.5703

P(6 ≤ X ≤ 10) = 0.5703 − 0.0559 = 0.5144


**Hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli mintavétel)**

μ = n * K/N = 10
ahol K a hibások száma, N az összes

σ = √ n (K/N) (1 - K/N) (N-n)/(N-1)  ≈ 2.686

Kontinuitási korrekciót megint alkalmazni kell, ugyan az mint előbb.

Z-értékek számítása:
Z_1 ≈ −1.67
Z_2 ≈ 0.186

P(Z ≤ −1.67) ≈ 0.0475
P(Z ≤ 0.186) ≈ 0.5744


P(6 ≤ X ≤ 10) = 0.5744 − 0.0475 = 0.5269

Ami közel van a numerikus eredményekhez.