Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kombinatorika
mestercraft
kérdése
484
Egy fagyizóban 14-féle fagyit árulnak: 5-féle laktózmentes, 3-féle cukormentes és 6-féle normál fagylaltot. (Ezek között nincs átfedés, pl. nincs olyan fagyi, ami laktózmentes is és cukormentes is.)
L-laktózmentesek: L1,L2,L3,L4,L5
C-cukormentesek: C1,C2,C3
N-normál:N1,N2,N3,N4,N5,N6
(a) Hányféleképpen vásárolhatunk 4 gombóc nem feltétlenül különböző fagyit? (Minden fagyiból van annyi, amennyi csak kell, és a sorrend nem számít, csak az, hogy melyik ízből hány gombócot vettünk.)
Itt úgy gondolkodtam, hogy gombóconként bármely 14 féléből választhatok, és nem fogy el, ezért 14ˇ14 féle lehetőségem
van. A megoldástól eltért, 2380-nak kellene kijönnie.
(b) Hányféleképpen vásárolhatunk 4 gombóc különböző fagyit? (Minden fagyiból van annyi, amennyi csak kell, és a sorrend nem számít, csak az, hogy melyik ízből hány gombócot vettünk.)
Arra gondoltam, hogy a 14 féle fagyiból hányszor tudok 4-et kivenni, azaz 14 alatt a 4. Ez a megoldásnak megfelelt
Vagyis az első gombócom 14 féléből lehet, a többi csak 14-n, ahol n a gombóc sorszáma. A fagyin belüli gombócok
sorrendje mindegy, mert például L1-L2-N1-N2 ugyanaz, mint N2-N1-L2-L1, ugyanazok az ízek vannak benne. Ezért leosztok
4!-sal. Tehát (14*13*12*11)/(4*3*2*1).
(c) Hányféleképpen vásárolhatunk 4 gombóc különböző fagyit úgy, hogy legfeljebb két laktózmentes fagylalt legyen közöttük? (Minden fagyiból van annyi, amennyi csak kell, és a sorrend nem számít, csak az, hogy melyik ízből hány gombócot vettünk.)
Itt 3 esetet vizsgáltam: Ha 0, 1, vagy 2 az L gombócok száma
Ha 0, akkor 14-5 alatt a 4-et választhatok
Ha 1, akkor 14-4 alatt a 4-et
Ha 2, akkor 14-3 alatt a 4-et, majd a külön eseteket összeadtam.
De valszeg ez így nem jó
Válasz: 906, a megoldókulcs szerint
(d) Hányféleképpen vásárolhatunk 4 gombóc különböző fagyit úgy, hogy legyen köztük cukormentes is és normál is ? (Minden fagyiból van annyi, amennyi csak kell, és a sorrend nem számít, csak az, hogy melyik ízből hány gombócot vettünk.)
Itt a válasz 606 lesz.
Próbálkoztam, de sehogysem jöttek ki az elvárt eredmények és levezetés nincs hozzá. Ha valaki el tudná nekem magyarázni, azt nagyon megköszönném.
L-laktózmentesek: L1,L2,L3,L4,L5
C-cukormentesek: C1,C2,C3
N-normál:N1,N2,N3,N4,N5,N6
(a) Hányféleképpen vásárolhatunk 4 gombóc nem feltétlenül különböző fagyit? (Minden fagyiból van annyi, amennyi csak kell, és a sorrend nem számít, csak az, hogy melyik ízből hány gombócot vettünk.)
Itt úgy gondolkodtam, hogy gombóconként bármely 14 féléből választhatok, és nem fogy el, ezért 14ˇ14 féle lehetőségem
van. A megoldástól eltért, 2380-nak kellene kijönnie.
(b) Hányféleképpen vásárolhatunk 4 gombóc különböző fagyit? (Minden fagyiból van annyi, amennyi csak kell, és a sorrend nem számít, csak az, hogy melyik ízből hány gombócot vettünk.)
Arra gondoltam, hogy a 14 féle fagyiból hányszor tudok 4-et kivenni, azaz 14 alatt a 4. Ez a megoldásnak megfelelt
Vagyis az első gombócom 14 féléből lehet, a többi csak 14-n, ahol n a gombóc sorszáma. A fagyin belüli gombócok
sorrendje mindegy, mert például L1-L2-N1-N2 ugyanaz, mint N2-N1-L2-L1, ugyanazok az ízek vannak benne. Ezért leosztok
4!-sal. Tehát (14*13*12*11)/(4*3*2*1).
(c) Hányféleképpen vásárolhatunk 4 gombóc különböző fagyit úgy, hogy legfeljebb két laktózmentes fagylalt legyen közöttük? (Minden fagyiból van annyi, amennyi csak kell, és a sorrend nem számít, csak az, hogy melyik ízből hány gombócot vettünk.)
Itt 3 esetet vizsgáltam: Ha 0, 1, vagy 2 az L gombócok száma
Ha 0, akkor 14-5 alatt a 4-et választhatok
Ha 1, akkor 14-4 alatt a 4-et
Ha 2, akkor 14-3 alatt a 4-et, majd a külön eseteket összeadtam.
De valszeg ez így nem jó
Válasz: 906, a megoldókulcs szerint
(d) Hányféleképpen vásárolhatunk 4 gombóc különböző fagyit úgy, hogy legyen köztük cukormentes is és normál is ? (Minden fagyiból van annyi, amennyi csak kell, és a sorrend nem számít, csak az, hogy melyik ízből hány gombócot vettünk.)
Itt a válasz 606 lesz.
Próbálkoztam, de sehogysem jöttek ki az elvárt eredmények és levezetés nincs hozzá. Ha valaki el tudná nekem magyarázni, azt nagyon megköszönném.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matematika, kombinatorika, diszkrét
Matematika, kombinatorika, diszkrét
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bazsa990608
{ Közgazdász }
megoldása
a.)
A feladat szövege alapján az vehető ki, hogy ez egy ismétléses kombináció ahol 14-féle fagylalt közül választunk 4 gombócot.
`C_n^(k,i)=((n+k-1),(k))=((14+4-1),(4))=((17),(4))=(17*16*15*14)/(4*3*2*1)=color(red)(2380)`
b.)
Itt 4 különböző fajtájú fagyit kell választani a 14-ből, tehát ez egy sima ismétlés nélküli kombináció.
`C_n^k=((14),(4))=(n!)/(k!*(n-k)!)=(14!)/(4!*(14-4)!)=(14*13*12*11)/(4*3*2*1)=color(red)(1001)`
c.)
Tehát 4 különböző fagyit kell kiválasztanunk úgy, hogy legfeljebb 2 laktózmentes lehet közüttük és a sorrend nem számít.
- Ha nincs közöttük laktózmentes: `C_n^k=((9),(4))=(9!)/(4!*(9-4)!)=(9*8*7*6)/(4*3*2*1)=126`
- Ha egy darab laktózmentes van: `C_n^k=((5),(1))*((9),(3))=(5*9!)/(3!*(9-3)!)=420`
- Ha kettő darab laktózmentes van: `C_n^k=((5),(2))*((9),(2))=(5!)/(2!*(5-2)!)*(9!)/(2!*(9-2)!)=360`
A legfeljebb 2 laktózmentes eset kombinációinak számát a három eset összege fogja megadni: `126+420+360=color(red)(906)`
d.)
Itt már azért több esetet is meg kell vizsgálnunk.
- 1 cukormentes, 1 normál, 2 laktózmentes: `C_n^k=((3),(1))*((6),(1))*((5),(2))=(3*6*5!)/(2!*(5-2)!)=180`
- 1 cukormentes, 2 normál, 1 laktózmentes: `C_n^k=((3),(1))*((6),(2))*((5),(1))=(3*5*6!)/(2!*(6-2)!)=225`
- 1 cukormentes, 3 normál: `C_n^k=((3),(1))*((6),(3))=(3*6!)/(3!*(6-3)!)=60`
- 2 cukormentes, 1 normál, 1 laktózmentes: `C_n^k=((3),(2))*((6),(1))*((5),(1))=(5*6*3!)/(2!*(3-2)!)=90`
- 2 cukormentes, 2 normál: `C_n^k=((3),(2))*((6),(2))=(3!)/(2!*(3-2)!)*(6!)/(2!*(6-2)!)=45`
- 3 cukormentes, 1 normá: `C_n^k=((3),(3))*((6),(1))=1*6=6`
Ahhoz, hogy megkapjük összesen hányféle képpen válaszhatunk ki 4 ggombócot úgy, hogy legyen közöttük cukormentes és normál is szintén csak össze kell adnunk az esetek eredményeit tehát: `180+225+60+90+45+6=color(red)(606)`
A feladatot fehér színnel oldottam meg amennyiben megoldásnak jelölöd a válaszom elérhetővé teszem számodra a megoldást. Egyéb esetben természetesen nem áll módomban közzétenni. Előre is köszönöm
A feladat szövege alapján az vehető ki, hogy ez egy ismétléses kombináció ahol 14-féle fagylalt közül választunk 4 gombócot.
`C_n^(k,i)=((n+k-1),(k))=((14+4-1),(4))=((17),(4))=(17*16*15*14)/(4*3*2*1)=color(red)(2380)`
b.)
Itt 4 különböző fajtájú fagyit kell választani a 14-ből, tehát ez egy sima ismétlés nélküli kombináció.
`C_n^k=((14),(4))=(n!)/(k!*(n-k)!)=(14!)/(4!*(14-4)!)=(14*13*12*11)/(4*3*2*1)=color(red)(1001)`
c.)
Tehát 4 különböző fagyit kell kiválasztanunk úgy, hogy legfeljebb 2 laktózmentes lehet közüttük és a sorrend nem számít.
- Ha nincs közöttük laktózmentes: `C_n^k=((9),(4))=(9!)/(4!*(9-4)!)=(9*8*7*6)/(4*3*2*1)=126`
- Ha egy darab laktózmentes van: `C_n^k=((5),(1))*((9),(3))=(5*9!)/(3!*(9-3)!)=420`
- Ha kettő darab laktózmentes van: `C_n^k=((5),(2))*((9),(2))=(5!)/(2!*(5-2)!)*(9!)/(2!*(9-2)!)=360`
A legfeljebb 2 laktózmentes eset kombinációinak számát a három eset összege fogja megadni: `126+420+360=color(red)(906)`
d.)
Itt már azért több esetet is meg kell vizsgálnunk.
- 1 cukormentes, 1 normál, 2 laktózmentes: `C_n^k=((3),(1))*((6),(1))*((5),(2))=(3*6*5!)/(2!*(5-2)!)=180`
- 1 cukormentes, 2 normál, 1 laktózmentes: `C_n^k=((3),(1))*((6),(2))*((5),(1))=(3*5*6!)/(2!*(6-2)!)=225`
- 1 cukormentes, 3 normál: `C_n^k=((3),(1))*((6),(3))=(3*6!)/(3!*(6-3)!)=60`
- 2 cukormentes, 1 normál, 1 laktózmentes: `C_n^k=((3),(2))*((6),(1))*((5),(1))=(5*6*3!)/(2!*(3-2)!)=90`
- 2 cukormentes, 2 normál: `C_n^k=((3),(2))*((6),(2))=(3!)/(2!*(3-2)!)*(6!)/(2!*(6-2)!)=45`
- 3 cukormentes, 1 normá: `C_n^k=((3),(3))*((6),(1))=1*6=6`
Ahhoz, hogy megkapjük összesen hányféle képpen válaszhatunk ki 4 ggombócot úgy, hogy legyen közöttük cukormentes és normál is szintén csak össze kell adnunk az esetek eredményeit tehát: `180+225+60+90+45+6=color(red)(606)`
A feladatot fehér színnel oldottam meg amennyiben megoldásnak jelölöd a válaszom elérhetővé teszem számodra a megoldást. Egyéb esetben természetesen nem áll módomban közzétenni. Előre is köszönöm
Módosítva: 1 éve
1
-
mestercraft: Áll az alku! Köszi szépen! 1 éve 0