Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Érintő körök szerkesztése---részletes megoldásra lenne szükség
nemtudni
{ Kérdező } kérdése
659
∈Legyen a,b,c három szakasz.
a) szerkesszünk 3 kört, melyek páronként érintik egymást, és amelynek a sugara rendre az a,b,c szakaszok. Minden esetben lehetséges a szerkesztés?
b) Legyen A,B,C a körök középpontja, és M,N,P a körök találkozási pontja. (M∈BC, N∈AC). Milyen kapcsolat létezik az MNP háromszög köré írt kör középpontja és az ABC háromszögbe beírt kör középpontja között?
a) szerkesszünk 3 kört, melyek páronként érintik egymást, és amelynek a sugara rendre az a,b,c szakaszok. Minden esetben lehetséges a szerkesztés?
b) Legyen A,B,C a körök középpontja, és M,N,P a körök találkozási pontja. (M∈BC, N∈AC). Milyen kapcsolat létezik az MNP háromszög köré írt kör középpontja és az ABC háromszögbe beírt kör középpontja között?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Kezdd azzal, hogy rajzolsz egy ábrát a 3 körrel.
--- megrajzoltam, itt láthatod: https://ggbm.at/vXw69TYa
Tudod felül módosítani az a, b és c hosszúságokat a végpontok mozgatásával, ha akarod látni, hogyan változik a kép.
a)
A körök középpontjai az A,B,C pontok. Az ABC háromszög oldalai a+b, a+c, b+c hosszúak. Úgyhogy kell szerkeszteni egy ilyen háromszöget és kész. Azt ugye tudod, hogyan kell?
Akkor lehet szerkeszteni, ha a háromszög-egyenlőtlenség teljesül ezekre az összegekre. Nézzük:
`a+b+a+c > b+c`: ez mindig igaz
`a+b+b+c > a+c`: ez is mindig igaz
`a+c+b+c > a+b`: ez is mindig igaz.
Szóval mindig meg lehet szerkeszteni.
b)
Az `M` és `N` pontokban rajzolj merőlegest az `ABC` háromszög oldalaira. Ezek a merőlegesek (nevezzük `m` és `n`-nek) érintik a köröket. A két merőleges közös köre a `C` középpontú kör.
Legyen az `m` és `n` egyenesek metszéspontja az `O` pont. Figyeld meg, hogy az `MOC` háromszög egybevágó az `NOC` háromszögel, hisz a háromszögek két oldala egyforma hosszú (`MC=NC=c`, illetve az `OC` oldal közös) és a hosszabbikkal (`OC`-vel) szemközti szög egyforma (derékszög).
Ezért `MO = NO`, nevezzük ezt `r`-nek.
Valójában az `O` pontról majd belátjuk, hogy az `OP` egyenes merőleges `AB`-re és `OP=r`, magyarul az `O` pont az ABC háromszögbe írható kör középpontja. Mivel az `M, N, P` pontoktól való távolsága egyforma (`r`), ezért egyben ez az `MNP` háromszög köré írható kör középpontja is. Tehát a kapcsolat az, hogy a két kör középpontja megegyezik, sőt, a két kör is megegyezik.
---
Még be kell látni, hogy az `O` pont tényleg rajta van a `P` pontban rajzolt merőlegesen. Nézzük:
Nevezzük a `P` pontban az `AB`-re rajzolt merőlegest `p`-nek. Ez a `p` egyenes az `m`-et az `O_m` pontban, az `n`-et `O_n` pontban metszi. Azt akarjuk belátni, hogy ez mindkettő az `O` pont, de egyelőre tegyük fel, hogy ez 3 különálló pont. A fentihez hasonló módon kijön, hogy `MO_m=PO_m` és `NO_n=PO_n`.
Tegyük fel, hogy az `O`-tól jobbra metszi a `p` a két egyenest, vagyis `MO_m < MO = r` valamint `NO_n > NO = r`. Ebből következik, hogy `PO_m < r` és `PO_n > r` kell legyen, de tudjuk, hogy `PO_m > PO_n`, ami ellentmondás.
Ha azt feltételezzük, hogy az `O`-tól balra metszi `p` a két egyenest, akkor is hasonlóan ellentmondás jön ki, csak fordított egyenlőtlenségekkel. Ezért csak az nem vezet ellentmondásra, ha az `O` pont rajta van a `p` egyenesen.
Beláttuk.
--- megrajzoltam, itt láthatod: https://ggbm.at/vXw69TYa
Tudod felül módosítani az a, b és c hosszúságokat a végpontok mozgatásával, ha akarod látni, hogyan változik a kép.
a)
A körök középpontjai az A,B,C pontok. Az ABC háromszög oldalai a+b, a+c, b+c hosszúak. Úgyhogy kell szerkeszteni egy ilyen háromszöget és kész. Azt ugye tudod, hogyan kell?
Akkor lehet szerkeszteni, ha a háromszög-egyenlőtlenség teljesül ezekre az összegekre. Nézzük:
`a+b+a+c > b+c`: ez mindig igaz
`a+b+b+c > a+c`: ez is mindig igaz
`a+c+b+c > a+b`: ez is mindig igaz.
Szóval mindig meg lehet szerkeszteni.
b)
Az `M` és `N` pontokban rajzolj merőlegest az `ABC` háromszög oldalaira. Ezek a merőlegesek (nevezzük `m` és `n`-nek) érintik a köröket. A két merőleges közös köre a `C` középpontú kör.
Legyen az `m` és `n` egyenesek metszéspontja az `O` pont. Figyeld meg, hogy az `MOC` háromszög egybevágó az `NOC` háromszögel, hisz a háromszögek két oldala egyforma hosszú (`MC=NC=c`, illetve az `OC` oldal közös) és a hosszabbikkal (`OC`-vel) szemközti szög egyforma (derékszög).
Ezért `MO = NO`, nevezzük ezt `r`-nek.
Valójában az `O` pontról majd belátjuk, hogy az `OP` egyenes merőleges `AB`-re és `OP=r`, magyarul az `O` pont az ABC háromszögbe írható kör középpontja. Mivel az `M, N, P` pontoktól való távolsága egyforma (`r`), ezért egyben ez az `MNP` háromszög köré írható kör középpontja is. Tehát a kapcsolat az, hogy a két kör középpontja megegyezik, sőt, a két kör is megegyezik.
---
Még be kell látni, hogy az `O` pont tényleg rajta van a `P` pontban rajzolt merőlegesen. Nézzük:
Nevezzük a `P` pontban az `AB`-re rajzolt merőlegest `p`-nek. Ez a `p` egyenes az `m`-et az `O_m` pontban, az `n`-et `O_n` pontban metszi. Azt akarjuk belátni, hogy ez mindkettő az `O` pont, de egyelőre tegyük fel, hogy ez 3 különálló pont. A fentihez hasonló módon kijön, hogy `MO_m=PO_m` és `NO_n=PO_n`.
Tegyük fel, hogy az `O`-tól jobbra metszi a `p` a két egyenest, vagyis `MO_m < MO = r` valamint `NO_n > NO = r`. Ebből következik, hogy `PO_m < r` és `PO_n > r` kell legyen, de tudjuk, hogy `PO_m > PO_n`, ami ellentmondás.
Ha azt feltételezzük, hogy az `O`-tól balra metszi `p` a két egyenest, akkor is hasonlóan ellentmondás jön ki, csak fordított egyenlőtlenségekkel. Ezért csak az nem vezet ellentmondásra, ha az `O` pont rajta van a `p` egyenesen.
Beláttuk.
1
- Még nem érkezett komment!