Matek

Már több ízben kértük a hallgatóságot, hogy egyszerre ne több (10-nél több) feladatot írjatok ki, mert ezeket megoldani még hagyján, de megírni LaTeX nyelven több órás munkát jelentene a megoldónak. Higgyétek el, hogy ez több részre bontva megírva sokkal hatékonyabb, arról nem beszélve, hogy a megoldásért kapott pontok szétosztása is egyértelműbb lehetne!

Az gyula205 nicknévvel keveset találkoztok, mert nem tartozom a pontvadászok (mint például bazsa990608 vagy Sziszidori) táborába. Egyrészt mert nem nagyon érek rá, másrészt szívesebben tölteném az időmet érdekes feladványok prezentációinak írásával. Ezért van az, ha megnéz valaki ezen a portálon, hogy nagyon sokszor szerepelek a feladat kiírók között is. Magántanárként sem az ideális állapoban vagyok. De azért most kivételesen leülök a számítógép elé és megoldok néhány egyenletet egy másik válaszblokkban. További jó tanulást kívánok!

Minden egyenlet megoldását úgy kell kezdeni, hogy megállapítjuk az egyenlet értelmezési tartományát és ezt figyelembe véve történik a megoldás. Az egyenletek ellenőrzése is fontos dolog, amikor a kapott gyököket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe. Ezt általában a feladat kiírójára bízzuk.
Nézzük most első közelítésben az első három egyenletet.
a.) feladatnál az ÉT mehatározása az egyenlet zérusra rendezése után áttekinhetőbbé válik , tehát `6*sqrt(x-2)-6-x=0`. És ebből `D_a={x| x ge 2}`.
b.) egyenletnél jól látható, hogy tejesülnie kell a `x ge -2` és `3 ge x` feltéteknek, amiből `D_b={x| -2 le x le 3}`.
A c.) egyenletnél `D_c=RR` írhatunk, mert lehet harmadik gyököt vonni tetszőleges negatív számból, így `x^3+7` alakú számból is lehetséges.

Az a.) egyenletet úgy is meg lehet oldani, hogy megszorozzuk egy nemnegatív kifejezéssel: `x in D_a` esetén `6*sqrt(x-2)+6+x`-el. Ebben az esetben `(6*sqrt(x-2))^2-(6+x)^2=0`, ahol alkalmazásra került `(a+b)(a-b)=a^2-b^2` azonosság. Kapunk egy másodfokú egyenletet:
`36(x-2)-36-12x-x^2=0`. Átrendezve `-x^2+24x-108=0 Leftrightarrow (6-x)(x-18)=0 ` aminek eredménye a következő két gyök: `x_1=6` és `x_2=18`, amiről azonnal megállapítható, hogy az egyenlet értelmezési tartományában van. Az ellenőrzést rád bíznám.

A b.) egyenlet megoldásánál hasonló okoskodással élhetünk mint az előbb: zérusra rendezés után szorzom az egyenletet egy nemnegatív kifejezéssel. `sqrt(x+2)+sqrt(3-x)-3=0`, mivel `x in D_b` esetén `sqrt(x+2)+sqrt(3-x)+3>0` ezért `(sqrt(x+2)+sqrt(3-x)-3)(sqrt(x+2)+sqrt(3-x)+3)=0`, azaz `(sqrt(x+2)+sqrt(3-x))^2-3^2=0 Leftrightarrow 2*sqrt(x+2)*sqrt(3-x)-4=0` Egy újból gyökös egyenlethez jutottunk, amely lényegesen egyszerűbb a kiinduló változatnál. Szorzattá alakítva megszorozzuk (az ÉT megtartása mellett) egy újabb nemnegatív kifejezéssel, hogy egy másodfokú egyenlethez jussunk: `2*(sqrt(x+2)*sqrt(3-x)-2)(sqrt(x+2)*sqrt(3-x)+2)=0 <=> 2*[(sqrt(x+2)*sqrt(3-x))^2-2^2)]=0 <=> 2*(x+1)(2-x)=0` A kapott egyenlet két gyöke `x_1=-1` és `x_2=2`. Nyilvánvaló, hogy `x_1, x_2 in D_b`. Ellenőrzést megintcsak rád bíznám.

c.) egyenlet megoldásának kulcsa az `(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3` azonosság.
Rendezzük az egyenletünket zérusra. `root(3)(x^3+7)-(x+1)=0` . Legyen `a=root(3)(x^3+7)` és `b=x+1`. Ekkor `(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3=(x^3+7)-(x^3+3x^2+3x+1)=0`, Ugyanis a szorzás eredménye nem szűkíti az értelmezési tartományt. Tehát `-3x^2-3x+6=0 <=> 3*(1-x)*(x+2)=0`. A kapott `RR`-beli `x_1=1` és `x_2=-2` gyököket kell már csak ellenőrizni.

Néhány ötlet a további egyenletek megoldásához:

f.) esetén az a nehézség, hogy az egy harmadfokú egyenlet megoldására vezet:
`x^3-3x^2-4x+12=(x+2)(x-2)(x-3)`

g.) esetén `y=2^x` új ismeretlen bevezetésével egy másodfokú egyenletet kell megoldani.

h.) esetén `y=3^sqrt(x)` új ismeretlen bevezetésével egy másodfokú egyenletet kell megoldani.