Próbáljuk meg a sorozat monotonitását a különbségvizsgálattal meghatározni úgy, hogy megnézzük a sorozat `a_n` két egymást követő elemének különbségét.

`a_n=(3-4n)/(1-n)`

Először is kifejtjük a sorozat `a_n+1` elemét úgy, hogy mindenhol `n+1`-et helyettesítettünk be `n` helyére. Feltétele, hogy: `n ne 0`

`a_(n+1)=(3-4*(n+1))/(1-(n+1))=(3-4n-4)/(1-n-1)=(-4n-1)/(-n)=4+1/n`

Most nézzük meg mi van `a_(n+1-a_n)` esetben amely a különbséget jelenti. Itt csak be kell helyettesítsük a kapott eredményt `a_(n+1)` esetből.

`a_(n+1-a_n)=(4+1/(n+1))-(4+1/n)=1/(n-1)-1/n=(n-(n+1))/(n*(n+1))=-1/(n^2+n)`

Tehát a különbség mindig negatív ami azt jelenti, hogy a sorozat minden egyes taggal csak csökken. Így a sorozat `color(red)("szigorúan monoton csökkenő.")`



A küszöbindex `n_0` ugye azt jelenti, hogy `ngen_0` esetén a sorozat elemeinek eltérése egy adott határértéktől kisebb, mint az adott `epsilon="0,01"`.

Első lépésnek a határértéket érdemes meghatározni: `lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)(3-4n)/(1-n)=lim_(n->oo)(-4n)/(-n)=4`

Most a küszöbindex meghatározásához azt kell megoldanunk, hogy: `|a_n-4|lt"0,01"`

Az `a_n` és 4 különbsége: `abs(a_n-4)=abs((3-4n)/(1-n)-4)=abs((3-4n-4(1-n))/(1-n))=abs((-1)/(1-n))`

Ebből: `1/(n-1)lt"0,01"` amit megoldva kapjuk, hogy `n-1gt"0,01"` így az eredmény `ngt101`

Ezért a küszöbindex `color(red)(n_0=102)` azaz innentől kezdve a sorozat elemei már `"0,01"`-nél kisebb távolságra lesznek a határértéktől.


A feladatot fehér színnel oldottam meg amennyiben megoldásnak jelölöd a válaszom elérhetővé teszem számodra a megoldást. Egyéb esetben természetesen nem áll módomban közzétenni. Előre is köszönöm