Pl. : 100²=10000, tehát a 0.

Ezt hanyadéves és milyen tárgyon kaptátok ezt a házit? Csak mert egyáltalán nemtriviális a válasz

Bocsánat, tegnap leírtam az egész választ, de úgy látszik, megint megutált engem a platform, és valami formázás eltörte a válaszom.

Lényeg a lényeg, hogy a kérdés formalizálható úgy, hogy `mod 10000`-ben keresünk kvadratikus maradékokat. Ez a kívani maradéktétellel átírható úgy, hogy "milyen `mod 10000` maradékosztály lesz kvadratikus maradék egyszerre `mod 16`-ban és `mod 625`-ben?". A kvadratikus maradékok mod `625`-ben egy fokkal gyorsabban meghatározhatók, mint `mod 10000`-ben, ezért közelebb vagyunk a megoldáshoz. Végül kiderül, hogy csak a `0000` teljesíti ezt a `0000,1111,...,9999` közül, és így valóban a `0` lesz az egyetlen megoldás.

Nem tudom, miért töri el az oldalt néhány válasz, és rohadt idegesítő, hogy kigépeltem az egész megoldást, hogy csak így elvesszen a semmibe. Ez régen is így volt, úgy látszik, azóta nem sikerült javítani. Mindenesetre ha szeretnéd, hogy kirészletezzem, akkor leírom szívesen megint.

No akkor második nekifutás.

Ahogy előbb írtam, a kérdés gyakorlatilag az, hogy "A `0000,1111,...,9999` közül melyek kvadratikus maradékok `mod 10000`-ben?". Kvadratikus maradék az a maradékosztály, ami négyzetszám maradéka. Remélem azt látod, hogy ez a megfogalmazás miért ugyanaz, mint a feladat.

`mod 10000` maradékosztályból sok van, így szeretnénk a problémát kisebb számokra redukálni. Ezt megtehetjük a kínai maradéktétel seígtségével. Ehhez `10000`-et relatív prímek szorzatára kell bontanunk. `10000=2^4*5^4`, így két relatív prím szorzatára bonthatjuk: `16` és `625`. A tétel értelmében `x` pontosan akkor lesz kvadratikus maradék `mod 10000`, ha egyszerre kvadratikus maradék `mod 16` és `mod 625`. (A tétel nem egészen ezt mondja ki, de ez egy következménye, ami egy kis érdekes feladat lehet, ha van kedved hozzá).

Na már most, mik a kvadratikus maradékok `mod 625`? Erre nem nagyon jutott eszembe jobb megoldás, mint kilistázni egy python one-liner-rel, de ha valakinek van jobb ötlete, szívesen hallgatom. Mindenesetre a kvadratikus maradékok a következők:

[0, 1, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 25, 26, 29, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 46, 49, 51, 54, 56, 59, 61, 64, 66, 69, 71, 74, 76, 79, 81, 84, 86, 89, 91, 94, 96, 99, 100, 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, 121, 124, 126, 129, 131, 134, 136, 139, 141, 144, 146, 149, 150, 151, 154, 156, 159, 161, 164, 166, 169, 171, 174, 176, 179, 181, 184, 186, 189, 191, 194, 196, 199, 201, 204, 206, 209, 211, 214, 216, 219, 221, 224, 225, 226, 229, 231, 234, 236, 239, 241, 244, 246, 249, 251, 254, 256, 259, 261, 264, 266, 269, 271, 274, 275, 276, 279, 281, 284, 286, 289, 291, 294, 296, 299, 301, 304, 306, 309, 311, 314, 316, 319, 321, 324, 326, 329, 331, 334, 336, 339, 341, 344, 346, 349, 350, 351, 354, 356, 359, 361, 364, 366, 369, 371, 374, 376, 379, 381, 384, 386, 389, 391, 394, 396, 399, 400, 401, 404, 406, 409, 411, 414, 416, 419, 421, 424, 426, 429, 431, 434, 436, 439, 441, 444, 446, 449, 451, 454, 456, 459, 461, 464, 466, 469, 471, 474, 475, 476, 479, 481, 484, 486, 489, 491, 494, 496, 499, 501, 504, 506, 509, 511, 514, 516, 519, 521, 524, 525, 526, 529, 531, 534, 536, 539, 541, 544, 546, 549, 551, 554, 556, 559, 561, 564, 566, 569, 571, 574, 576, 579, 581, 584, 586, 589, 591, 594, 596, 599, 600, 601, 604, 606, 609, 611, 614, 616, 619, 621, 624]

Ugyanez `mod 16` esetén:

[0, 1, 4, 9]

Annyi maradt tehát, hogy megnézzük, `0000,1111,...,9999` közül melyek esnek a megfelelő halmazokba. A `16`-os maradék majdnem mindet kizárja, csak a `0000` és a `7777` marad. A `7777`-et kizárja a `mod 625` kvadratikus maradék halmaz (`277`-et ad, ami nem szerepel benne). Így tehát csak a `0000` megfelelő, azaz a számjegy valóban csak a `0` lehet.

Ha van rész, ami nem teljesen világos, szólj, és próbálom kiegészíteni!