Oszthatóság, maradék

1

Kicsit bővebb válasz. 5-tel osztva a következő osztási maradékosztályok lehetségesek: `0,1,2,3,4`. A mi esetünkben praktikusabb, ha a `3` maradékosztálynak inkább a `-2`, a 4 osztálynak a `-1` reprezentánsát vesszük. Így tehát az osztási maradékok: `-2,-1,0,1,2`. Következik, hogy 5-tel osztva a négyzetszámok osztási maradékai `0,1,-1` (ugyanis `2^2=4\equiv -1`).

Most nézzük meg, hogy ha sorba megyünk a számokon, mik a maradékok és a négyzetek maradékai:
`1->1->1`
`2->2->-1`
`3->-2->-1`
`4->-1-> 1`
`5->0->0`

Látszik, hogy `6`-tól ez a minta ismétlődik (de ha nem látod, akkor gondolj bele, hogy először vehetünk mindenből 5-tel vett osztási maradékot, és nem változik semmi).

Milyen esetben lesz nem `0` az első `n` négyzetszám összege mod 5? Pontosan akkor, hogy ha az `1,-1,-1,1,0` maradék-ciklusban az első `1` vagy a második `-1` után járunk, ugyanis minden más esetben a `-1`-ek és az `1`-ek az összegben kinullázzák egymást.

Mit jelent ez az első `n` szám összegére nézve? Először is vegyük észre, hogy `0+1+2+3+4 \equiv 0 mod 5`. Azaz itt is elég csak az `1,2,-2,-1,0` ciklust vizsgálni, mert egy teljes ciklus `mod 5` összege `0`.

Ha az első `1` után járunk, akkor ez csak az első elem, így nyilván `1` a `B` maradéka. Ha a második `-1` után járunk, akkor `1+2+(-2)`, ami szintén `1` maradékhoz vezet.

Remélem kb. érthetőre sikerült. Ha nem, kérdezz nyugodtan!