Valaki tud segíteni?

A feladat egy határozott integrál kiszámítása 0 és 1 között.

A lap jobb felső sarkába fel van írva egy általános integrálási szabály, mely azt mondja ki, hogy
∫ef(x) · f'(x) dx = ef(x) + c
Ezt azt jelenti, hogyha egy olyan szorzatot integrálunk, ahol ef(x) van szorozva f'(x)-szel, akkor az eredmény biztosan ef(x) lesz, tehát a szorzat első tagja plusz a c konstans. Ahol f(x) egy függvény, f'(x) pedig a függvény deriváltja. A feladat megoldásához célszerű ezt az integrálási szabályt használni.

Első lépés:
Mivel az integrál határozott (tehát a függvény alatti területet adja meg két határ között), így első lépésben meg kell határozni a határozatlan integrál eredményét, ami jelen esetben:
∫e4x^(3)+5 · 2x2 dx
Ezt az integrálási szabályt használva egyszerű megoldani:
f(x) = 4x3+5
Ha ezt deriválom, akkor 12x2-t kapok. (Így kell deriválni: (xα)' = α·xα-1, illetve a +5 nulla lesz, mert konstans szám)
Tehát f(x)' = 12x2 lesz, ami sajnos nem egyezik meg a 2x2-nal, így át kell alakítani.
12x2 = 1/6·2x2
Még ez sem teljesen jó, de ezzel már felírhatjuk az integrált:
∫e4x^(3)+5 · 1/6·2x2 dx
Van egy olyan integrálási szabály, hogyha egy konstans számmal szorzunk az integrálandó kifejezésben akkor kihozható az integráljel elé:
1/6∫e4x^(3)+5 · 2x2 dx
Mostmár tisztán látszik, hogy az elsőként felírt integrálási szabálynak megfelelően néz ki a kifejezés, így integrálhatjuk annak használatával:
1/6∫e4x^(3)+5 · 2x2 dx = 1/6e4x^(3)+5 + c

Második lépés (opcionális):
Második lépésként ellenőrizhetjük, hogyha deriváljuk az előző lépésben kapott eredményünk, akkor az eredeti kifejezést kell visszakapnunk. Mivel a c egy tetszőleges konstanst jelöl, így célszerű nullaként számolni vele az egyszerűség miatt.
1/6e4x^(3)+5 + c
Az 1/6 egy konstans szorzónak minősül, így most ezzel nem foglalkozunk.
Az e4x^(3)+5 viszont sokkal érdekesebb, ez ugyanis egy összetett függvény. Összetett függvényeket pedig kívülről befelé haladva deriválunk a láncszabály alkalmazásával.
A külső függvény az ex.
A belső pedig a 4x3+5.
A külső deriváltja önmaga, míg a belsőé 12x2.
Tehát, leírjuk a külső deriváltját, majd az x helyére behelyettesítjük a a belső függvényt, majd szorzunk a belső függvény deriváltjával:
e4x^(3)+5 · 12x2
Most, hogy deriváltuk, térjünk vissza a 1/6-ra, ami egy konstans szorzó. Ezzel meg kell szorozni a deriváltat:
1/6e4x^(3)+5 · 12x2 = e4x^(3)+5 · 2x2
Ez pontosan ugyanaz a kifejezés, mint ami az eredeti integrálban volt, így eddig mindent jól csináltunk.

Harmadik lépés:
Harmadik, egyben utolsó lépésként a határozatlan integrál kiszámításakor kapott eredményt szögletes zárójelek közé írjuk:
∫1₀e4x^(3)+5 · 2x2 dx = [1/6e4x^(3)+5]1₀
Ezt követően a Newton-Leibnitz formula alkalmazásával helyettesítsünk be az egyenletbe az x helyére:
(1/6e4·1^(3)+5) - (1/6e4·0^(3)+5) = 1325,77846
Érdemes zárójeleket használni, hogy ne tévesszünk előjelet.