Verseny

Milyen verseny?

Az ilyen feladatokhoz érdemes átalakítani az egyenletet; kiemelünk x-et, és a végén lévő számot átpakoljuk a másik oldalra:

x*(x³-2x²-13x+14) = -24.

Ha x egész, akkor a bal oldalon egész számok szorzata látható, így ennek csak akkor lehet eredménye, hogyha x osztója a -24-nek. A -24 osztói: -24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ezeket beírod x helyére, és amelyikre egyenlőséget kapsz, az lesz a nyertes. Mivel negyedfokú az egyenlet, ezért legfeljebb 4 megoldása lehet.

Az első egy-az-egyben megoldható így, a másodikhoz kelleni fog a Horner-elrendezés és/vagy a polinomosztás. Valamelyiket esetleg ismered?

És olyat tanultál, hogy ha egy polinomnak gyöke k, akkor kiemelhető (x-k)? Ez egybeesik azzal, hogy ha a másodfokú polinom gyökei x₁ és x₂, akkor átírható a*(x-x₁)*(x-x₂) alakra, ahol a a főegyöttható. Ha valamelyik ismerős lenne, akkor előrébb lennénk.

Akkor; mivel gyöke a -3, ezért kiemelhető (x-(-3))=(x+3) belőle, tehát felírható (x+3)*(valami polinom) alakban, amiből az következik, hogy maga a polinom osztható (x+3)-mal (mint ahogyan 6=2*3, és a 6 osztható a 2-vel). Tehát el kellene végeznünk a

[x³-6x²+12x+117]/[x+3] osztást. Hogyha az x+3 valamilyen formában megjelenne a számlálóban, az jó lenne, mert akkor azt eltudnánk osztani az (x+3)-mal. Mivel egy harmadfokú polinom van a számlálóban, ezért próbáljuk meg, hogy mi van akkor, hogyha (x+3)³-öt rakjuk a számlálóba; ha kibontjuk a zárójelet, akkor x³+9x²+27x+27 lesz belőle, azonban a számlálóban nem ez van, de nem baj, majd úgy alakítjuk, hogy az legyen; ha kivonunk belőle 15x²+15x-90-et, akkor az eredeti számlálóval egyenértékű számlálót kapunk, és ez lesz a törtből:

[(x+3)³-(15x²+15x-90)]/[x+3]

Ahogyan a törtek összeadásánál/kivonásánál tanultuk, hogy a számlálókat összeadjuk, ugyanazt visszafelé is meg lehet csinálni, így két tört különbségét kapjuk:

[(x+3)³]/[x+3] - [(15x²+15x-90)]/[x+3]

Az első törtet így már el tudjuk végezni, és (x+3)² lesz az eredménye. A második tört az előbbi gyökös meghatározás szerint átírható, ehhez ki kell számolni a gyökeit; a 15x²+15x-90=0 egyenlet megoldásai x₁=-3 és x₂=2, tehát átírható 15*(x+3)*(x-2) alakra, ezt már el tudjuk osztani (x+3)-mal, és marad 15*(x-2). Ezzel az egész osztás eredmény ez lesz:

(x+3)² - 15*(x-2) = x²-9x+39, így az eredeti polinomból ez lesz:

(x+3)*(x²-9x+39)=0. Most az a kérdés, hogy a második tényező mikor lesz 0, ennek az a megoldása, hogy nincs valós megoldása, ha pedig komplex megoldást keresünk, azt úgyis kiadja a megoldóképlet.

Maga a fenti eljárás egy kicsit egyszerűsíthető, annak polinomosztás a neve, ha érdekel, ezzel utána tudsz nézni.