Megmaradási törvények

Már gondolom nem aktuális, de hogy legyen válasz:

a) Magasság, ahol a test elválik a félgömbtől:

Kezdeti energia: E_k = 1/2 m v02 + m g R
Az elválás pillanatában: E_e = 1/2 m v2 + m g R cos(φ)
Energiamegmaradás alapján: 1/2 m v02 + m g R = 1/2 m v2 + m g R cos(φ)

Centripetális erő
Mozgásegyenlet: (m v2)/R = m g cos(φ)
Innen: v2 = g R cos(φ)
A két egyenletet kombinálva: h = 5/6 R


b) A test sebessége az elváláskor
A sebesség az energiamegmaradásból: v = √ g R cos(φ)  = √ (5/6) g R 

c) Távolság a félgömbtől az asztalon
Az elválás után a test parabolapályán mozog.
Horizontális sebesség: vx = v sin(φ) = √ (5/6) g R  * (√ 11 )/6
Függőleges sebesslg: vy = v cos(φ) = √ (5/6) g R  * (5/6)

Esési idő
A függőleges mozgás egyenlete: (5/6) R = vy t + (1/2) g t2
⇒ t = 0.737 √ R/g 

Távolság
x = vx t = 0.91R

d) Minimális kezdősebesség a félgömb felületére kerüléshez
(Ha jól értettem a kérdést)
A test csak akkor marad érintkezésben a félgömbbel, ha a normálerő nem válik negatívvá. A kritikus sebesség, amikor a normálerő éppen nullává válik a félgömb tetején:
(m v02)/R = m g ⇒ v0 = √ gR