Ha jól értem, meglökjük alul a testet v₀ sebességgel, amitől az felmegy valameddig a lejtőn t₂ idő alatt, aztán visszajön t₁ idő alatt. Súrlódása is van.

Kezdetben a mozgási energiája `1/2·m·v_0^2`
Ha `h` magasságra megy fel, akkor odafent a helyzeti energiája `m·g·h`, és közben a súrlódás fékezte, ennyi munkát végzett: `F_s·s`. Mivel 45°-os a lejtő, `s=sqrt2·h` (Pitagorasz).
A súrlódási erőt a lejtőre ható nyomóerőből tudjuk számolni. Remélem fel tudod rajzolni az `mg` nehézségi erő felbontását lejtőirányú és lejtőre merőleges komponensekre! A 45°-os lejtő miatt ez mindkettő `(mg)/(sqrt2)` nagyságú, ugye ez is tiszta? Akkor pedig a súrlódás ennyi:
`F_s=µ·(mg)/(sqrt2)`
A súrlódás munkája pedig:
`W_s=F_s·s=µ·(mg)/(sqrt2)·sqrt2·h=µ·mgh`

Vagyis az energiákból és a végzett munkából ez látszik:
`1/2·m·v_0^2 = mgh + µ·mgh`
`v_0^2=2(µ+1)gh`

Az `s` utat `t_2` idő alatt tette meg. Az átlagsebessége `v_0/2` volt, hisz egyenletesen csökkent a sebessége 0-ig, tehát:
`s=v_0/2·t_2`
`sqrt2·h=v_0/2·t_2`
`h=(v_0·t_2)/(2sqrt2)`

Ezt beírjuk az előzőbe:
`v_0^2=2(µ+1)g·(v_0·t_2)/(2sqrt2)`
(1) `v_0=(µ+1)g·(t_2)/(sqrt2)`

Ez még csak a felfelé út volt. Jegyezzük meg ezt az egyenletet és nézzük a lefelé utat:

Kezdetben a helyzeti energia `mgh`, a súrlódás most is felemészti ennek egy részét. A súrlódási erő ugyanakkora, a munkája is ugyanakkora (`W_s=µ·mgh`). Ennyi marad:
`E_2=mgh-W_s=mgh-µmgh=(1-µ)mgh`
A végén ez mozgási energia lesz:
`E_2=1/2mv_2^2`
`(1-µ)mgh=1/2mv_2^2`
`2(1-µ)gh=v_2^2`

Az átlagsebesség `v_2/2` volt, az `s` utat `t_1` idő alatt tette meg, tehát `s=v_2/2·t_1`
`v_2=(2s)/(t_1)=(2s)/("1,1"·t_2)`

`2(1-µ)gh=((2s)/("1,1"·t_2))^2`
`(1-µ)gh=(2s^2)/("1,1"·t_2)^2`
Mivel `s=sqrt2·h`, ezért `s^2=2h^2`:
`(1-µ)gh=(4h^2)/("1,1"·t_2)^2`
`(1-µ)g=(4h)/("1,1"·t_2)^2`
Ebbe is írjuk bele `h`-t fentről:
`(1-µ)g=(4(v_0·t_2)/(2sqrt2))/("1,1"·t_2)^2=(sqrt2·v_0)/("1,1"^2·t_2)`

Vagyis ez a két egyenletünk van a két útból (az (1) egyenlet az első):
`v_0=(µ+1)g·(t_2)/(sqrt2)`
`(1-µ)g=(sqrt2·v_0)/("1,1"^2·t_2)`
Az elsőből `t_2`-t fejezzük ki és rakjuk be a másodikba:
`(1-µ)g=(sqrt2·v_0)/("1,1"^2·(v_0·sqrt2)/((µ+1)g))`
`(1-µ)g=((µ+1)g)/("1,1"^2)`
`"1,1"^2(1-µ)=µ+1`
`"1,1"^2-1=µ("1,1"^2+1)`
`µ=("1,1"^2-1)/("1,1"^2+1)`

A közepétől lehet kicsit egyszerűbben csinálni. Leírom újra az egészet:

Kezdetben a mozgási energiája `1/2·m·v_0^2`
Ha `h` magasságra megy fel, akkor odafent a helyzeti energiája `m·g·h`, és közben a súrlódás fékezte, ennyi munkát végzett: `F_s·s`. Mivel 45°-os a lejtő, `s=sqrt2·h` (Pitagorasz).
A súrlódási erőt a lejtőre ható nyomóerőből tudjuk számolni. Remélem fel tudod rajzolni az `mg` nehézségi erő felbontását lejtőirányú és lejtőre merőleges komponensekre! A 45°-os lejtő miatt ez mindkettő `(mg)/(sqrt2)` nagyságú, ugye ez is tiszta? Akkor pedig a súrlódás ennyi:
`F_s=µ·(mg)/(sqrt2)`
A súrlódás munkája pedig:
`W_s=F_s·s=µ·(mg)/(sqrt2)·sqrt2·h=µ·mgh`

Vagyis az energiákból és a végzett munkából ez látszik:
`1/2·m·v_0^2 = mgh + µ·mgh`
(1) `v_0^2=2(µ+1)gh`

Ez még csak a felfelé út volt. Jegyezzük meg ezt az egyenletet és nézzük a lefelé utat:

Kezdetben a helyzeti energia `mgh`, a súrlódás most is felemészti ennek egy részét. A súrlódási erő ugyanakkora, a munkája is ugyanakkora (`W_s=µ·mgh`). Ennyi marad:
`E_2=mgh-W_s=mgh-µmgh=(1-µ)mgh`
A végén ez mozgási energia lesz:
`E_2=1/2mv_2^2`
`(1-µ)mgh=1/2mv_2^2`
(2) `2(1-µ)gh=v_2^2`

Már csak `v_0` és `v_2` viszonyáról kellene találni valamit.

Felfelé az `s` utat `t_2` idő alatt tette meg. Az átlagsebessége `v_0/2` volt, hisz egyenletesen csökkent a sebessége 0-ig, tehát:
`s=v_0/2·t_2`

Lefelé az átlagsebesség `v_2/2` volt, az `s` utat `t_1` idő alatt tette meg, tehát `s=v_2/2·t_1`

`v_0/2·t_2=v_2/2·t_1`
`v_0·t_2/t_1=v_2`
`v_0/"1,1"=v_2`

Ezt írjuk be a (2) egyenletbe:
`2(1-µ)gh=v_2^2=v_0^2/"1,1"^2`
`"1,1"^2·2(1-µ)gh=v_0^2`

Ezt pedig az (1) egyenletbe írjuk be:
`"1,1"^2·2(1-µ)gh=2(µ+1)gh`
`"1,1"^2(1-µ)=µ+1`
`"1,1"^2="1,1"^2µ+µ+1`
`µ=("1,1"^2-1)/("1,1"^2+1)`