`S(n)=sum_(i=1)^n i·10^(i-1)`
Ilyeneket adunk össze: (mondjuk n=4 esetén)
1+20+300+4000

Írjuk fel inkább így:
1+
10+10+
100+100+100+
1000+1000+1000+1000

Amit így is írhatunk:
1111+
1110+
1100+
1000

Az első sorban lévő szám ugye `(10^4-1)/9`, általánosan `(10^n-1)/9`
Az alsó 3 sorban lévő pedig éppen `10·S(3)`, általánosan `10·S(n-1)`

Vagyis ezt tudjuk:
`S(n)=(10^n-1)/9+10·S(n-1)`
Tudjuk még azt is, hogy `S(1)=1`

Tehát sikerült rekurzív képletet adni rá. Ebből kellene explicit képletet csinálni.

`S(n)-10·S(n-1)=(10^n-1)/9`
Ez nem igazi differencia, mert ott van a 10-es szorzó. Trükk: osszunk `10^n`-nel:
`(S(n))/(10^n)-(S(n-1))/(10^(n-1))=(1-10^(-n))/9`
Vezessünk be egy másik függvényt:
`T(n)=(S(n))/(10^n)`
Ezzel már differenciánk van:
`T(n)-T(n-1) = (1-10^(-n))/9`

Már egész közel vagyunk az explicit zárt képlethez

Újabb trükk: Adjunk hozzá `T(n-1)+T(n-2)`-t, valamint `T(n-2)+T(n-3)`-at, stb, teljesen `T(2)-T(1)`-ig. Párosával kiejtik egymást, csak `T(n)` valamint `T(1)` maradnak:
`T(n)-T(1)=sum_(k=2)^n (1-10^(-n))/9=1/9·(sum_(k=2)^n 1-sum_(k=2)^n 10^(-n))`
... ami pedig egy számtani sorozat valamint egy mértani sorozat összegképlete, az már sima eset, le se írom

A vége persze még hátra van:
`T(n)=1/9·(sum_(k=2)^n 1-sum_(k=2)^n 10^(-n))+T(1)`
`S(n)=10^n·T(n)`
... fejezd be