Trigonometria matek

Ötletek a 1/d.) feladat megoldásához. Nem tisztán trigonometrikus egyenletről van szó, amelynek értelmezési tartománya az egész számegyenes, azaz `RR`. Kezdhetnénk a megoldást úgy is, hogy a bal oldalra rendezünk és az így keletkező függvény zérushelyeit keressük. Néhány függvénytanos tétel alkalmazásával kimutatható lenne, hogy egyrészt a vizsgált függvény felülről korlátos és a végtelen sok szélsőértékhelyek közül van egy érték az origó közelében ahol a kérdéses függvény globális maximumot vesz fel és ez az érték negatív. Ez viszont igazolná, hogy nincs a kérdéses függvénynek zérushelye és így az egyenletnek sincs megoldása.
Van egy másik út is, amely a diákoknak valamivel kellemesebb. A bal oldalon álló kifejezés egy olyan trigonometrikus függvényt határoz meg, amely alulról is és felülről is korlátos. A jobb oldali kifejezés egy olyan másodfokú függvényhez tartozik, amely alulról korlátos. Be fogjuk látni, hogy a parabola minimuma 2 és a trigonometrikus függvény értékei pedig a `[-2; 2]` intervallumba esnek. Teljes négyzetté alakítással a parabola egyenlete `(x-2)^2+2`, amelyről látható az állításunk első fele. Az is látható, hogy ezt a minimális értéket `x=2` helyen veszi fel.
A trigonometrikus kifejezésről belátjuk, hogy létezik olyan `alpha` érték, hogy minden `x in RR` esetén igaz a következő: `2*cos (x-alpha)=cos x+sqrt(3)*sin x`. Azaz `2*cos x*cos alpha+2*sin alpha sin x=cos x+sqrt(3)*sin x`. Ez csak úgy lehetséges, hogy `cos alpha=1/2` és `sin alpha=sqrt(3)/2`. Ezek közül elég csak az egyik egyenletet megvizsgálni. Az elsőt választva két megoldáshalmazhoz jutunk: `alpha_1=pi/3+2*k*pi` és `alpha_2=-pi/3+2*k*pi`, ahol `k in ZZ`. A kapott megoldások közül az `alpha=pi/3` érték is elégséges, mert
`2*cos (x-pi/3)=cos x+sqrt(3)*sin x`. Tehát az egyenlet `2*cos(x-pi/3)=(x-2)^2+2` alakra hozható.

Ebből látható, hogy a bal oldalon a `x=pi/3<2` érték maximumhely. Egyezés csak akkor van, ha a két érték egyenlő egymással. Tehát, ha `x mapsto (x-pi/3)^2+2` egyenletű parabolát választották volna, akkor volna az egyenletnek egyértelmű (egyetlen) megoldása is.

Sejtésem szerint 1/a. (sárga foltos Piros E1 azonosítójú) egyenlet megoldásáról.
Értelmezési tartomány itt is az `RR`. `sin 2x=sin x` `<=> 2*sin x*cos x-sin x=0 <=>`
`<=> 2*sin x*(cos x-1)=0` esetén két eset jöhet szóba. Ha `sin x=0`, akkor az egyik megoldáshalmaz `x_1=k*pi`; illetve ha `cos x=1`, akkor másik megoldáshalmaz `x_2=2*k*pi`, ahol `k in ZZ`. A két megoldáshalmaz egyesítése révén jutunk el az `x=k*pi` megoldáshalmazhoz.
Ellenőrzés `2*sin (k*pi)*(cos (k*pi)-1)` kifejezésben az első tényező minden `k in ZZ`-ra zérust ad.
Páros `k in ZZ` esetén a nemcsak az első, hanem a második tényező is zérussá válik.

2/a egyenlőtlenség megoldásáról. Értelmezési tartományról elmondhatjuk, hogy itt is `RR`.
`sin 2x-cos x ge 0 <=> 2*sin x*cos x-cos x ge 0<=> cos x*(2*sin x-1) ge 0 <=>`
`<=>2*cos x*(sin x-1/2) ge 0 `. Itt két eset jöhet szóba. Ha `cos x ge 0` és `sin x-1/2 ge 0` esetén
a megoldáshalmazok `H_1={x |-pi/2+2k*pi le x le pi/2+2k*pi}` illetve `H_2={x | pi/6+2k*pi le x le 5*pi/6+2k*pi}`, ahol `k in ZZ`. Ezekből az első eset megoldáshalmaza `M_1=H_1 cap H_2={x |pi/6+2k*pi le x le pi/2+2k*pi}`. A második eset `cos x le 0` és `sin x-1/2 le 0` esetén jöhet szóba, ekkor a megoldáshalmazok `H_3={x |pi/2+2k*pi le x le 3*pi/2+2k*pi}` illetve `H_4={x | 5*pi/6+2k*pi le x le 5*pi/3+2k*pi}`, ahol `k in ZZ` és `5*pi/3=3*pi/2+pi/6`. Ezekből a második eset megoldáshalmaza `M_2=H_3 cap H_4={x |5*pi/6+2k*pi le x le 3*pi/2+2k*pi}`. Így ennek az egyenlőtlenségnek a megoldáshalmaza `M=M_1 cup M_2` lesz.

Sajnos csak három feladat megoldására volt időm. Reménykedem, hogy a többi feladatmegoldó kolléga még időben csatlakozik ehhez. További jó tanulást!