Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Trigonometria matek
danielfelician9
kérdése
152
Valaki tudna segíteni ezekben a feladatokban? Ha még nem is az összes, bármennyi segítség megoldva.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
gyula205
válasza
Ötletek a 1/d.) feladat megoldásához. Nem tisztán trigonometrikus egyenletről van szó, amelynek értelmezési tartománya az egész számegyenes, azaz ℝ. Kezdhetnénk a megoldást úgy is, hogy a bal oldalra rendezünk és az így keletkező függvény zérushelyeit keressük. Néhány függvénytanos tétel alkalmazásával kimutatható lenne, hogy egyrészt a vizsgált függvény felülről korlátos és a végtelen sok szélsőértékhelyek közül van egy érték az origó közelében ahol a kérdéses függvény globális maximumot vesz fel és ez az érték negatív. Ez viszont igazolná, hogy nincs a kérdéses függvénynek zérushelye és így az egyenletnek sincs megoldása.
Van egy másik út is, amely a diákoknak valamivel kellemesebb. A bal oldalon álló kifejezés egy olyan trigonometrikus függvényt határoz meg, amely alulról is és felülről is korlátos. A jobb oldali kifejezés egy olyan másodfokú függvényhez tartozik, amely alulról korlátos. Be fogjuk látni, hogy a parabola minimuma 2 és a trigonometrikus függvény értékei pedig a [-2; 2] intervallumba esnek. Teljes négyzetté alakítással a parabola egyenlete (x-2)^2+2, amelyről látható az állításunk első fele. Az is látható, hogy ezt a minimális értéket x=2 helyen veszi fel.
A trigonometrikus kifejezésről belátjuk, hogy létezik olyan alpha érték, hogy minden x in RR esetén igaz a következő: 2*cos (x-alpha)=cos x+sqrt(3)*sin x. Azaz 2*cos x*cos alpha+2*sin alpha sin x=cos x+sqrt(3)*sin x. Ez csak úgy lehetséges, hogy cos alpha=1/2 és sin alpha=sqrt(3)/2. Ezek közül elég csak az egyik egyenletet megvizsgálni. Az elsőt választva két megoldáshalmazhoz jutunk: alpha_1=pi/3+2*k*pi és alpha_2=-pi/3+2*k*pi, ahol k in ZZ. A kapott megoldások közül az alpha=pi/3 érték is elégséges, mert 2*cos (x-pi/3)=cos x+sqrt(3)*sin x. Tehát az egyenlet 2*cos(x-pi/3)=(x-2)^2+2 alakra hozható.
Ebből látható, hogy a bal oldalon a x=pi/3<2 érték maximumhely. Egyezés csak akkor van, ha a két érték egyenlő egymással. Tehát, ha x mapsto (x-pi/3)^2+2 egyenletű parabolát választották volna, akkor volna az egyenletnek egyértelmű (egyetlen) megoldása is.
Sejtésem szerint 1/a. (sárga foltos Piros E1 azonosítójú) egyenlet megoldásáról.
Értelmezési tartomány itt is az RR. sin 2x=sin x<=> 2*sin x*cos x-sin x=0 <=> <=> 2*sin x*(cos x-1)=0 esetén két eset jöhet szóba. Ha sin x=0, akkor az egyik megoldáshalmaz x_1=k*pi; illetve ha cos x=1, akkor másik megoldáshalmaz x_2=2*k*pi, ahol k in ZZ. A két megoldáshalmaz egyesítése révén jutunk el az x=k*pi megoldáshalmazhoz.
Ellenőrzés 2*sin (k*pi)*(cos (k*pi)-1) kifejezésben az első tényező minden k in ZZ-ra zérust ad.
Páros k in ZZ esetén a nemcsak az első, hanem a második tényező is zérussá válik.
2/a egyenlőtlenség megoldásáról. Értelmezési tartományról elmondhatjuk, hogy itt is RR. sin 2x-cos x ge 0 <=> 2*sin x*cos x-cos x ge 0<=> cos x*(2*sin x-1) ge 0 <=> <=>2*cos x*(sin x-1/2) ge 0 . Itt két eset jöhet szóba. Ha cos x ge 0 és sin x-1/2 ge 0 esetén
a megoldáshalmazok H_1={x |-pi/2+2k*pi le x le pi/2+2k*pi} illetve H_2={x | pi/6+2k*pi le x le 5*pi/6+2k*pi}, ahol k in ZZ. Ezekből az első eset megoldáshalmaza M_1=H_1 cap H_2={x |pi/6+2k*pi le x le pi/2+2k*pi}. A második eset cos x le 0 és sin x-1/2 le 0 esetén jöhet szóba, ekkor a megoldáshalmazok H_3={x |pi/2+2k*pi le x le 3*pi/2+2k*pi} illetve H_4={x | 5*pi/6+2k*pi le x le 5*pi/3+2k*pi}, ahol k in ZZ és 5*pi/3=3*pi/2+pi/6. Ezekből a második eset megoldáshalmaza M_2=H_3 cap H_4={x |5*pi/6+2k*pi le x le 3*pi/2+2k*pi}. Így ennek az egyenlőtlenségnek a megoldáshalmaza M=M_1 cup M_2 lesz.
Sajnos csak három feladat megoldására volt időm. Reménykedem, hogy a többi feladatmegoldó kolléga még időben csatlakozik ehhez. További jó tanulást!