Megoldás
Hajni érettségi feladatsorának valószínűsége
A feladat:

Hajni érettségire készül, és 5 tantárgyból kell tételt húznia: magyar, angol, informatika, matematika, történelem. Minden tantárgyból van olyan tétel, amit szeret, és van, amit nem. Összesen 3 magyart, 3 angolt, 2 informatikát és 2 történelmet szeretne kihúzni.
A feladat két részre oszlik:

A) Mekkora a valószínűsége annak, hogy Hajni mind az öt tárgyból olyat húz, amit szeret?

B) Mekkora a valószínűsége annak, hogy Hajni a teljes érettségije során pontosan egy olyan tételt húz, amit nem akar?

Megoldás:

A)

1. Összefoglalás:

Hajninak 5 tárgyból kell tételt húznia.
Tudjuk, hogy melyik tárgyból hány tételt szeretne kihúzni.
Ki kell számolnunk annak a valószínűségét, hogy minden tárgyból olyat húz, amit szeret.
2. Cél:

Meghatározni annak a valószínűségét, hogy Hajni mind az 5 tárgyból olyan tételt húz, amit szeret.

3. Terv:

A valószínűséget úgy kapjuk meg, hogy az egyes tárgyakra vonatkozó kedvező esetek számát elosztjuk az összes lehetséges eset számával. Ezt az öt tárgyra külön-külön kiszámoljuk, majd az eredményeket összeszorozzuk.

4. Megoldás:

Magyar: Hajni 21 magyar tételből 3-at szeretne kihúzni.
A kedvező esetek száma: 3
Az összes eset száma: 21
A valószínűség: 3/21 = 1/7
Angol: Hajni 18 angol tételből 3-at szeretne kihúzni.
A kedvező esetek száma: 3
Az összes eset száma: 18
A valószínűség: 3/18 = 1/6
Informatika: Hajni 16 informatika tételből 2-t szeretne kihúzni.
A kedvező esetek száma: 2
Az összes eset száma: 16
A valószínűség: 2/16 = 1/8
Matematika: Hajni 20 matematika tételből 2-t szeretne kihúzni.
A kedvező esetek száma: 2
Az összes eset száma: 20
A valószínűség: 2/20 = 1/10
Történelem: Hajni 20 történelem tételből 2-t szeretne kihúzni.
A kedvező esetek száma: 2
Az összes eset száma: 20
A valószínűség: 2/20 = 1/10
Annak a valószínűsége, hogy Hajni minden tárgyból olyat húz, amit szeret, a fenti valószínűségek szorzata:

(1/7) * (1/6) * (1/8) * (1/10) * (1/10) = 1/33600

5. Ellenőrzés:

Az eredmény reális, hiszen nagyon kicsi a valószínűsége annak, hogy Hajni mind az öt tárgyból pont olyat húz, amit szeret.

B)

1. Összefoglalás:

Hajninak 5 tárgyból kell tételt húznia.
Ki kell számolnunk annak a valószínűségét, hogy pontosan egy olyan tételt húz, amit nem szeret.
2. Cél:

Meghatározni annak a valószínűségét, hogy Hajni a teljes érettségije során pontosan egy olyan tételt húz, amit nem akar.

3. Terv:

Kiszámoljuk annak a valószínűségét, hogy egy adott tárgyból olyat húz, amit nem szeret, majd ezt megszorozzuk annak a valószínűségével, hogy a többi tárgyból olyat húz, amit szeret. Ezt az öt tárgyra külön-külön kiszámoljuk, majd az eredményeket összeadjuk.

4. Megoldás:

Először számoljuk ki a valószínűségeket minden tárgyra külön-külön:

Magyar: Annak a valószínűsége, hogy Hajni magyar nyelvből nem olyat húz, amit szeret: (21-3)/21 = 18/21 = 6/7
Angol: Annak a valószínűsége, hogy Hajni angol nyelvből nem olyat húz, amit szeret: (18-3)/18 = 15/18 = 5/6
Informatika: Annak a valószínűsége, hogy Hajni informatikából nem olyat húz, amit szeret: (16-2)/16 = 14/16 = 7/8
Matematika: Annak a valószínűsége, hogy Hajni matematikából nem olyat húz, amit szeret: (20-2)/20 = 18/20 = 9/10
Történelem: Annak a valószínűsége, hogy Hajni történelemből nem olyat húz, amit szeret: (20-2)/20 = 18/20 = 9/10
Most pedig számoljuk ki a valószínűséget minden tárgyra, figyelembe véve a többi tárgyat is:

Csak magyar rossz: (6/7) * (1/6) * (1/8) * (1/10) * (1/10) = 1/56000
Csak angol rossz: (1/7) * (5/6) * (1/8) * (1/10) * (1/10) = 1/67200
Csak informatika rossz: (1/7) * (1/6) * (7/8) * (1/10) * (1/10) = 1/33600
Csak matematika rossz: (1/7) * (1/6) * (1/8) * (9/10) * (1/10) = 3/112000
Csak történelem rossz: (1/7) * (1/6) * (1/8) * (1/10) * (9/10) = 3/112000
Végül összeadjuk az egyes esetek valószínűségét:

1/56000 + 1/67200 + 1/33600 + 3/112000 + 3/112000 = 19/168000

5. Ellenőrzés:

Az eredmény reális, hiszen viszonylag kicsi a valószínűsége annak, hogy Hajni pontosan egy olyan tételt húz, amit nem szeret.