Megoldás
A feladat összefoglalása:
Adott egy 5 cm sugarú kör és két párhuzamos húrja. Az egyik húr hossza 6 cm, a másiké 8 cm. A két húr négy végpontját összekötve kétféle négyszög keletkezhet.

A feladat célja:
Meg kell határoznunk: a) Van-e a két négyszögnek szimmetriatengelye? Ha van, akkor melyik egyenes? b) Mekkora távolságra van a két párhuzamos húr a kör középpontjától? c) Mekkora a két párhuzamos húr távolsága? d) Mekkorák a négyszög ismeretlen oldalai?

A megoldás terve:
Lerajzoljuk a kört és a két párhuzamos húrt a két lehetséges pozícióban.
Megvizsgáljuk a keletkezett négyszögeket szimmetriatengely szempontjából.
A kör középpontjából merőlegest állítunk a húrokra, és Pitagorasz-tétellel kiszámoljuk a kör középpontja és a húrok közötti távolságokat.
Kiszámoljuk a két húr közötti távolságot.
A keletkezett négyszögek oldalait a Pitagorasz-tétellel és a szimmetria tulajdonságainak felhasználásával határozzuk meg.
A megoldás lépései:
1. Ábra készítése:

Két párhuzamos húr a körben

A képen látható a kör a két párhuzamos húrral. A két lehetséges esetet külön-külön ábrázoltuk. Az A1B1C1D1 négyszög az első eset, az A2B2C2D2 a második.

2. Szimmetria:

Mindkét esetben látható, hogy a négyszögeknek van szimmetriatengelye. Az A1B1C1D1 négyszög szimmetriatengelye a két húr felezőpontját összekötő egyenes (e1). Az A2B2C2D2 négyszög szimmetriatengelye a kör két átellenes pontját összekötő, a húrokra merőleges egyenes (e2).

3. A kör középpontja és a húrok közötti távolságok:

Jelöljük a kör középpontját O-val. A kör sugara (r) 5 cm.

Az A1B1 húr: Az A1B1 húr hossza 6 cm. A szimmetria miatt az O pontból az A1B1 húrra bocsátott merőleges felezi a húrt, így keletkezik egy derékszögű háromszög (OA1F1), ahol A1F1 = 3 cm és OA1 = r = 5 cm. A Pitagorasz-tétel alapján:

OF1² = OA1² - A1F1² = 5² - 3² = 16 OF1 = √16 = 4 cm

A C1D1 húr: A C1D1 húr hossza 8 cm. A szimmetria miatt az O pontból a C1D1 húrra bocsátott merőleges felezi a húrt, így keletkezik egy derékszögű háromszög (OC1G1), ahol C1G1 = 4 cm és OC1 = r = 5 cm. A Pitagorasz-tétel alapján:

OG1² = OC1² - C1G1² = 5² - 4² = 9 OG1 = √9 = 3 cm

4. A húrok közötti távolság:

A húrok közötti távolság az OF1 és OG1 szakaszok hosszának összege:

F1G1 = OF1 + OG1 = 4 cm + 3 cm = 7 cm

5. A négyszögek ismeretlen oldalai:

Az A1B1C1D1 négyszög: Az A1B1 oldal hossza 6 cm, a C1D1 oldal hossza 8 cm. Mivel a négyszög szimmetrikus az e1 egyenesre, ezért A1D1 = B1C1. Az A1F1O derékszögű háromszögből tudjuk, hogy OF1 = 4 cm, és az F1G1 szakasz hossza 7 cm, így A1G1 = F1G1 - OF1 = 7 cm - 4 cm = 3 cm. A Pitagorasz-tétel alapján az A1C1 oldal hossza:

A1C1² = A1G1² + C1G1² = 3² + 4² = 25 A1C1 = √25 = 5 cm

Tehát A1D1 = B1C1 = A1C1 = 5 cm.

Az A2B2C2D2 négyszög: Az A2B2 oldal hossza 6 cm, a C2D2 oldal hossza 8 cm. Mivel a négyszög szimmetrikus az e2 egyenesre, ezért A2C2 = B2D2. Az A2F2O derékszögű háromszögből tudjuk, hogy OF2 = 4 cm (ugyanaz, mint OF1). A Pitagorasz-tétel alapján az A2C2 oldal hossza:

A2C2² = A2F2² + C2F2² = 4² + 4² = 32 A2C2 = √32 = 4√2 cm

Tehát A2C2 = B2D2 = 4√2 cm.

Ellenőrzés:
A számítások során a Pitagorasz-tételt alkalmaztuk, melynek helyességét ellenőrizhetjük a kapott oldalakkal.
A szimmetria tulajdonságait felhasználva meggyőződhetünk arról, hogy az eredmények összhangban vannak a feladat kiindulási feltételeivel.
Összefoglalva:
Az A1B1C1D1 négyszög oldalai: A1B1 = 6 cm, B1C1 = 5 cm, C1D1 = 8 cm, D1A1 = 5 cm.
Az A2B2C2D2 négyszög oldalai: A2B2 = 6 cm, B2D2 = 4√2 cm, C2D2 = 8 cm, A2C2 = 4√2 cm.
A kör középpontja és az A1B1 húr távolsága 4 cm.
A kör középpontja és a C1D1 húr távolsága 3 cm.
A két párhuzamos húr távolsága 7 cm.