Kombinatorika

Megoldás
Kombinatorika feladat megoldása
1. A feladat összefoglalása:

Egy pályázatra 30 pályamű érkezett, ebből 18 férfiaktól és 12 nőktől. A díjátadón 1 első, 2 második és 3 harmadik díjat osztanak ki. A díjakat nem lehet megosztani.

2. A megoldandó kérdések:

a. Hányféleképpen történhet a díjazás? b. Hány esetben lehet az első és a 2. helyezett is nő, ha a díjakat megosztani nem lehet?

3. A feladat megoldásának terve:

A feladat megoldásához a kombinatorika eszközeit használjuk. Mivel a díjak sorrendje számít, ezért permutációkat fogunk használni. Az a) részben a teljes díjazási lehetőségek számát kell meghatároznunk, a b) részben pedig egy speciális feltételnek megfelelő esetek számát.

4. A feladat megoldása:

a) Hányféleképpen történhet a díjazás?

A díjazás során 8 díjat osztanak ki (1 első, 2 második, 3 harmadik). A 30 pályázóból kell kiválasztanunk a 8 díjazottat, és figyelembe véve a díjak sorrendjét is. Ezt a következőképpen tehetjük meg:

Az első díjat 30 különböző módon adhatjuk ki.
A második díjat már csak 29 pályázó kaphatja meg (mivel az elsőt már kiosztottuk).
A harmadik díjat 28 módon adhatjuk ki, és így tovább.
Ez azt jelenti, hogy a díjazást összesen 30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 = 2,35 * 10^11 féleképpen lehet elvégezni.

b) Hány esetben lehet az első és a 2. helyezett is nő, ha a díjakat megosztani nem lehet?

Az első díjat 12 nő közül választhatjuk ki.
A második díjat már csak 11 nő kaphatja meg.
A harmadik díjat (és az azt követőket) már bármelyik megmaradt pályázó megkaphatja, tehát 28, 27, 26, 25 és 24 féleképpen.
Tehát az esetek száma, amikor az első két díjat nő kapja: 12 * 11 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 = 1,47 * 10^9

5. A megoldás ellenőrzése:

A megoldás ellenőrzése érdekében ellenőrizhetjük, hogy a kapott számok megfelelnek-e a kombinatorika alapelveinek. Az a) részben a 30 elem 8-adosztályú ismétlés nélküli permutációját számoltuk ki, ami helyes. A b) részben pedig a kedvező esetek számát határoztuk meg a teljes esetek számához képest. Az eredmények reálisak és nagyságrendileg is megfelelnek a várakozásoknak.