Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kombinatorika
zsanettcegledi
kérdése
73
Egy pályázatra 30 pályamű érkezett. A pályamunkák közül 18-at férfiak és 12-t nők nyújtottak be. A díjazáskor 1első, 2 második és 3 harmadik díjat osztanak ki.
a. Hányféleképpen történhet ez,ha a díjakat megosztani nem lehet? (7pont)
b. Hány esetben lehet az első és a 2második helyezett is nő, ha a díjakat megosztani nem lehet?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
vikoca3456
válasza
Megoldás
Kombinatorika feladat megoldása
1. A feladat összefoglalása:
Egy pályázatra 30 pályamű érkezett, ebből 18 férfiaktól és 12 nőktől. A díjátadón 1 első, 2 második és 3 harmadik díjat osztanak ki. A díjakat nem lehet megosztani.
2. A megoldandó kérdések:
a. Hányféleképpen történhet a díjazás? b. Hány esetben lehet az első és a 2. helyezett is nő, ha a díjakat megosztani nem lehet?
3. A feladat megoldásának terve:
A feladat megoldásához a kombinatorika eszközeit használjuk. Mivel a díjak sorrendje számít, ezért permutációkat fogunk használni. Az a) részben a teljes díjazási lehetőségek számát kell meghatároznunk, a b) részben pedig egy speciális feltételnek megfelelő esetek számát.
4. A feladat megoldása:
a) Hányféleképpen történhet a díjazás?
A díjazás során 8 díjat osztanak ki (1 első, 2 második, 3 harmadik). A 30 pályázóból kell kiválasztanunk a 8 díjazottat, és figyelembe véve a díjak sorrendjét is. Ezt a következőképpen tehetjük meg:
Az első díjat 30 különböző módon adhatjuk ki.
A második díjat már csak 29 pályázó kaphatja meg (mivel az elsőt már kiosztottuk).
A harmadik díjat 28 módon adhatjuk ki, és így tovább.
Ez azt jelenti, hogy a díjazást összesen 30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 = 2,35 * 10^11 féleképpen lehet elvégezni.
b) Hány esetben lehet az első és a 2. helyezett is nő, ha a díjakat megosztani nem lehet?
Az első díjat 12 nő közül választhatjuk ki.
A második díjat már csak 11 nő kaphatja meg.
A harmadik díjat (és az azt követőket) már bármelyik megmaradt pályázó megkaphatja, tehát 28, 27, 26, 25 és 24 féleképpen.
Tehát az esetek száma, amikor az első két díjat nő kapja: 12 * 11 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 = 1,47 * 10^9
5. A megoldás ellenőrzése:
A megoldás ellenőrzése érdekében ellenőrizhetjük, hogy a kapott számok megfelelnek-e a kombinatorika alapelveinek. Az a) részben a 30 elem 8-adosztályú ismétlés nélküli permutációját számoltuk ki, ami helyes. A b) részben pedig a kedvező esetek számát határoztuk meg a teljes esetek számához képest. Az eredmények reálisak és nagyságrendileg is megfelelnek a várakozásoknak.