Megoldás
11. feladat
1. A feladat összefoglalása és a rendelkezésre álló adatok:

A feladatban 5 állítást kapunk (1)-(5), melyekben algebrai kifejezések szerepelnek. Az állítások x, y és z változókat tartalmaznak. Tudjuk, hogy x > 0, y ≠ 0 és z ≠ 0.

2. Mit szeretnénk kiszámolni?

Ki kell számolnunk, hogy az (1)-(5) állítások közül hány igaz a megadott feltételek mellett.

3. Terv a feladat megoldására:

Minden egyes állítást külön-külön fogunk megvizsgálni. Egyszerűsíteni fogjuk az állítások mindkét oldalát, amíg el nem érünk egy egyértelmű igaz vagy hamis állításig. Ha az egyszerűsített állítás igaz, akkor az eredeti állítás is igaz. Ha az egyszerűsített állítás hamis, akkor az eredeti állítás is hamis.

4. A terv végrehajtása:

(1) állítás: (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9

Bal oldal: (2x - 3)²

Bontsuk ki a négyzetes tagot: (2x - 3)(2x - 3)
Szorozzuk ki a tagokat: 4x² - 6x - 6x + 9
Összevonás után: 4x² - 12x + 9
Jobb oldal: 4x² - 12x + 9

Összehasonlítás: A bal és a jobb oldal megegyezik, tehát az (1) állítás igaz.

(2) állítás: [(x²y² - 1) / z³] * [(1 / z³) + x²y²] = x⁴y⁴ - 1 / z⁶

Bal oldal: [(x²y² - 1) / z³] * [(1 / z³) + x²y²]

Végezzük el a szorzást: [(x²y² - 1) / z⁶] + [(x⁴y⁴ - x²y²) / z³]
Hozzuk közös nevezőre a tagokat: [(x²y² - 1) + z³(x⁴y⁴ - x²y²)] / z⁶
Bontsuk ki a zárójelet: (x²y² - 1 + x⁴y⁴z³ - x²y²z³) / z⁶
Rendezzük a tagokat: (x⁴y⁴z³ - x²y²z³ + x²y² - 1) / z⁶
Jobb oldal: x⁴y⁴ - 1 / z⁶

Összehasonlítás: A bal és a jobb oldal nem egyezik meg, tehát a (2) állítás hamis.

(3) állítás: (6x²y² - 4x⁵y²z) / 2xyz = 3x²z - 2x⁴y

Bal oldal: (6x²y² - 4x⁵y²z) / 2xyz

Emeljünk ki 2x²y²-t a számlálóból: 2x²y²(3 - 2x³z) / 2xyz
Egyszerűsítsük a törtet: (3 - 2x³z)y / z
Jobb oldal: 3x²z - 2x⁴y

Összehasonlítás: A bal és a jobb oldal nem egyezik meg, tehát a (3) állítás hamis.

(4) állítás: (y² - z²) / 2yz * (y²z² / y² + z²) = [(y + z)z] / 2

Bal oldal: (y² - z²) / 2yz * (y²z² / y² + z²)

Egyszerűsítsük a törtet a jobb oldali zárójelben: (y² - z²) / 2yz * (y²z² / y² + z²) = (y² - z²) / 2yz * (z² / 1 + z²/y²)
Hozzuk közös nevezőre a jobb oldali zárójelben lévő tagokat: (y² - z²) / 2yz * (z²y² / y² + z²y²/y²)
Összevonás a jobb oldalon: (y² - z²) / 2yz * (z²y² + z²y²) / y²
Végezzük el a szorzást: (y² - z²)(z²y² + z²y²) / 2y³z
Emeljünk ki z²y²-t a számlálóból: z²y²(y² - z²)(1 + 1) / 2y³z
Egyszerűsítsük a törtet: z(y² - z²)(2) / 2y = z(y² - z²) / y
Jobb oldal: [(y + z)z] / 2

Végezzük el a szorzást: (yz + z²) / 2
Összehasonlítás: A bal és a jobb oldal nem egyezik meg, tehát a (4) állítás hamis.

(5) állítás: (x² + 8x + 64) / (x + 8) = x + 8

Bal oldal: (x² + 8x + 64) / (x + 8)

A számláló nem bontható fel két egyszerűbb kifejezés szorzatára, így a törtet nem tudjuk egyszerűsíteni.
Jobb oldal: x + 8

Összehasonlítás: A bal és a jobb oldal nem egyezik meg, tehát az (5) állítás hamis.

5. Megoldás ellenőrzése:

Az (1) állítás igaz, a (2), (3), (4) és (5) állítások hamisak. Ezt a számolások során részletesen ellenőriztük.

Válasz: Az 5 állítás közül egy igaz