Matematika SOS!!

Megoldás
1. feladat
Összefoglaló:

Adott hat darab másodfokú egyenlet (a-f), melyeket meg kell oldanunk.

Cél:

Meghatározni az egyenletek összes megoldását (az x értékeket, amelyekre az egyenlet igaz).

Terv:

Minden egyes egyenlet esetében a következő lépéseket tesszük:

Azonosítjuk az egyenlet együtthatóit (a, b, c).
Kiszámoljuk a diszkriminánst (Δ = b² - 4ac).
A diszkrimináns előjelétől függően meghatározzuk a megoldások számát és típusát (két valós gyök, egy valós gyök, nincs valós gyök).
Amennyiben van valós gyök, kiszámoljuk azokat a másodfokú egyenlet megoldóképletével: x = (-b ± √Δ) / 2a.
Ellenőrizzük a kapott megoldásokat az eredeti egyenletbe való visszahelyettesítéssel.
Megoldás:

a) 2x² + 5,6x - 1,2 = 0

Együtthatók: a = 2, b = 5,6, c = -1,2
Diszkrimináns: Δ = b² - 4ac = 5,6² - 4 * 2 * (-1,2) = 31,36 + 9,6 = 40,96
Mivel Δ > 0, az egyenletnek két különböző valós gyöke van.
Megoldások:
x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-5,6 + √40,96) / (2 * 2) = (-5,6 + 6,4) / 4 = 0,2
x₂ = (-b - √Δ) / 2a = (-5,6 - √40,96) / (2 * 2) = (-5,6 - 6,4) / 4 = -3
Ellenőrzés:
2 * 0,2² + 5,6 * 0,2 - 1,2 = 0,08 + 1,12 - 1,2 = 0 (helyes)
2 * (-3)² + 5,6 * (-3) - 1,2 = 18 - 16,8 - 1,2 = 0 (helyes)
Tehát az a) egyenlet megoldásai: x₁ = 0,2 és x₂ = -3.

b) 3x² + 4,5x - 3 = 0

Együtthatók: a = 3, b = 4,5, c = -3
Diszkrimináns: Δ = b² - 4ac = 4,5² - 4 * 3 * (-3) = 20,25 + 36 = 56,25
Mivel Δ > 0, az egyenletnek két különböző valós gyöke van.
Megoldások:
x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-4,5 + √56,25) / (2 * 3) = (-4,5 + 7,5) / 6 = 0,5
x₂ = (-b - √Δ) / 2a = (-4,5 - √56,25) / (2 * 3) = (-4,5 - 7,5) / 6 = -2
Ellenőrzés:
3 * 0,5² + 4,5 * 0,5 - 3 = 0,75 + 2,25 - 3 = 0 (helyes)
3 * (-2)² + 4,5 * (-2) - 3 = 12 - 9 - 3 = 0 (helyes)
Tehát a b) egyenlet megoldásai: x₁ = 0,5 és x₂ = -2.

c) 1,5x² - 11,4x + 6,3 = 0

Együtthatók: a = 1,5, b = -11,4, c = 6,3
Diszkrimináns: Δ = b² - 4ac = (-11,4)² - 4 * 1,5 * 6,3 = 129,96 - 37,8 = 92,16
Mivel Δ > 0, az egyenletnek két különböző valós gyöke van.
Megoldások:
x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (11,4 + √92,16) / (2 * 1,5) = (11,4 + 9,6) / 3 = 7
x₂ = (-b - √Δ) / 2a = (11,4 - √92,16) / (2 * 1,5) = (11,4 - 9,6) / 3 = 0,6
Ellenőrzés:
1,5 * 7² - 11,4 * 7 + 6,3 = 73,5 - 80,4 + 6,3 = 0 (helyes)
1,5 * 0,6² - 11,4 * 0,6 + 6,3 = 0,54 - 6,84 + 6,3 = 0 (helyes)
Tehát a c) egyenlet megoldásai: x₁ = 7 és x₂ = 0,6.

d) 5x² + 8,5x + 2,1 = 0

Együtthatók: a = 5, b = 8,5, c = 2,1
Diszkrimináns: Δ = b² - 4ac = 8,5² - 4 * 5 * 2,1 = 72,25 - 42 = 30,25
Mivel Δ > 0, az egyenletnek két különböző valós gyöke van.
Megoldások:
x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-8,5 + √30,25) / (2 * 5) = (-8,5 + 5,5) / 10 = -0,3
x₂ = (-b - √Δ) / 2a = (-8,5 - √30,25) / (2 * 5) = (-8,5 - 5,5) / 10 = -1,4
Ellenőrzés:
5 * (-0,3)² + 8,5 * (-0,3) + 2,1 = 0,45 - 2,55 + 2,1 = 0 (helyes)
5 * (-1,4)² + 8,5 * (-1,4) + 2,1 = 9,8 - 11,9 + 2,1 = 0 (helyes)
Tehát a d) egyenlet megoldásai: x₁ = -0,3 és x₂ = -1,4.

e) 3x² - 1,8x + 0,27 = 0

Együtthatók: a = 3, b = -1,8, c = 0,27
Diszkrimináns: Δ = b² - 4ac = (-1,8)² - 4 * 3 * 0,27 = 3,24 - 3,24 = 0
Mivel Δ = 0, az egyenletnek egyetlen valós gyöke van.
Megoldás:
x = -b / 2a = 1,8 / (2 * 3) = 0,3
Ellenőrzés:
3 * 0,3² - 1,8 * 0,3 + 0,27 = 0,27 - 0,54 + 0,27 = 0 (helyes)
Tehát az e) egyenlet megoldása: x = 0,3.

f) -1x² + 1,2x + 7,48 = 0

Együtthatók: a = -1, b = 1,2, c = 7,48
Diszkrimináns: Δ = b² - 4ac = 1,2² - 4 * (-1) * 7,48 = 1,44 + 29,92 = 31,36
Mivel Δ > 0, az egyenletnek két különböző valós gyöke van.
Megoldások:
x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-1,2 + √31,36) / (2 * (-1)) = (-1,2 + 5,6) / (-2) = -2,2
x₂ = (-b - √Δ) / 2a = (-1,2 - √31,36) / (2 * (-1)) = (-1,2 - 5,6) / (-2) = 3,4
Ellenőrzés:
-1 * (-2,2)² + 1,2 * (-2,2) + 7,48 = -4,84 - 2,64 + 7,48 = 0 (helyes)
-1 * 3,4² + 1,2 * 3,4 + 7,48 = -11,56 + 4,08 + 7,48 = 0 (helyes)
Tehát az f) egyenlet megoldásai: x₁ = -2,2 és x₂ = 3,4.