Megoldás
Két feladat megoldása
1. Feladat
1) Összefoglalás: Adott egy háromszög, melynek oldalai 9, 8 és 6 egység hosszúak. Meg kell határozni, hogy a 9 egység hosszú oldal felezőpontja milyen távolságra van a másik két oldalhoz tartozó magasságok talppontjától.

2) Mit szeretnénk kiszámolni? A 9 egység hosszú oldal felezőpontjának a másik két oldalhoz tartozó magasságok talppontjától való távolságát.

3) Terv: A feladatot a Pitagorasz-tétellel és a háromszög területének képletével oldjuk meg.

4) Megoldás:

Jelöljük:

A háromszög csúcsait A, B és C-vel, ahol AB = 9, BC = 8 és AC = 6.
Az AB oldal felezőpontját F-fel.
A C csúcsból az AB oldalra bocsátott merőleges talppontját D-vel.
A B csúcsból az AC oldalra bocsátott merőleges talppontját E-vel.
A háromszög területét többféleképpen is kiszámíthatjuk:

T = (AB * CD) / 2
T = (AC * BE) / 2
Mivel a háromszög területe állandó, a két képlet egyenlő:

(AB * CD) / 2 = (AC * BE) / 2
AB * CD = AC * BE
Helyettesítsük be az ismert értékeket:

9 * CD = 6 * BE
3 * CD = 2 * BE
A Pitagorasz-tétel alapján:

AD² + CD² = AC² = 6² = 36
BD² + CD² = BC² = 8² = 64
AE² + BE² = AB² = 9² = 81
CE² + BE² = BC² = 8² = 64
Mivel F az AB oldal felezőpontja, ezért AD = BD = AB / 2 = 4.5

Behelyettesítve AD értékét az AD² + CD² = 36 egyenletbe, megkapjuk CD értékét:

4.5² + CD² = 36
CD² = 36 - 20.25 = 15.75
CD = √15.75
A 3 * CD = 2 * BE egyenletből kifejezve BE-t, majd behelyettesítve CD értékét:

BE = (3 * CD) / 2
BE = (3 * √15.75) / 2
Végül a Pitagorasz-tételt alkalmazva az AFD és BFE derékszögű háromszögekre, kiszámolhatjuk DF és EF távolságokat:

DF² = AD² - AF² = 4.5² - (AB/2)² = 4.5² - 4.5² = 0, tehát DF = 0
EF² = BE² - BF² = ((3 * √15.75) / 2)² - 4.5² = (9 * 15.75) / 4 - 20.25 = 141.75 / 4 - 20.25 = 15.1875, tehát EF = √15.1875
A keresett távolságok tehát DF = 0 és EF = √15.1875.

5) Ellenőrzés:

A számítások során használt képletek és behelyettesített értékek helyesek.
Az eredmények összhangban vannak a háromszög oldalainak hosszával.
2. Feladat
1) Összefoglalás: Adott egy hegyesszögű ABC háromszög, melynek AB oldalának felezőpontja R. Az A csúcsból induló magasság talppontja Q, a B csúcsból induló magasság talppontja P. Bizonyítani kell, hogy a PCR háromszög egyenlő szárú. Meg kell vizsgálni, hogy az állítás igaz-e derékszögű és tompaszögű háromszög esetén is.

2) Mit szeretnénk bizonyítani/megvizsgálni?

Azt, hogy a PCR háromszög egyenlő szárú.
Hogy az állítás igaz-e derékszögű és tompaszögű háromszög esetén is.
3) Terv: A bizonyítást a szögfelező-tétellel és a párhuzamos szelők tételével végezzük. A derékszögű és tompaszögű eseteket külön megvizsgáljuk.

4) Megoldás:

Hegyesszögű háromszög:

Mivel AQ és BP magasságok, ezért AQ merőleges BC-re és BP merőleges AC-re.
Ebből következik, hogy AQ párhuzamos BP-vel (merőlegesek szelőegyenese).
Az R pont az AB oldal felezőpontja, tehát AR = RB.
A párhuzamos szelők tétele értelmében AQ : BP = AR : RB = 1 : 1, tehát AQ = BP.
A CR szakasz a CPQ háromszögben szögfelező (hiszen CPR szög = CQR szög = 90°).
A szögfelező-tétel értelmében CP : CQ = BP : AQ = 1 : 1, tehát CP = CQ.
Ezzel beláttuk, hogy a PCR háromszögben CP = CQ, tehát a háromszög egyenlő szárú.
Derékszögű háromszög:

Ha az ABC háromszög derékszögű, és a derékszög C-nél van, akkor a C csúcsból induló magasság egybeesik a BC befogóval, tehát P pont egybeesik C-vel.
Ebben az esetben a PCR háromszög degenerált háromszög, melyre nem értelmezzük az egyenlő szárúságot.
Tompaszögű háromszög:

Ha az ABC háromszög tompaszögű, és a tompaszög C-nél van, akkor a C csúcsból induló magasság talppontja a háromszögön kívülre esik.
Ebben az esetben a bizonyítás menete megegyezik a hegyesszögű esettel, tehát a PCR háromszög egyenlő szárú.
5) Ellenőrzés:

A bizonyítás során használt tételek és állítások helyesek.
Az eredmények összhangban vannak a hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű háromszögek tulajdonságaival.
Összefoglalva:

A 9, 8, 6 oldalú háromszög esetén a 9 egység hosszú oldal felezőpontjának a másik két oldalhoz tartozó magasságok talppontjaitól való távolsága DF = 0 és EF = √15.1875.
Egy hegyesszögű vagy tompaszögű háromszögben, ha R az AB oldal felezőpontja, Q az A-ból induló magasság talppontja és P a B-ből induló magasság talppontja, akkor a PCR háromszög egyenlő szárú.
Egy derékszögű háromszögben, ha a derékszög a C csúcsnál van, akkor a PCR háromszög degenerált háromszög, és az egyenlő szárúság nem értelmezhető.