Question

Zsigii22 kérdése

152 10 hónapja

Melyik az a négyjegyű szám, amely éppen 110-szerese számjegyei összegének?

A levezetést és a megoldást is megköszönném

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.

0

Középiskola / Matematika

1

VF { Informatikus } megoldása · Accepted Answer · 2024-05-22 21:20:40

$m * 1000 + s * 100 + t * 10 + e = (m + s + t + e) * 110$

Mivel a számunk

$valami * 110$ , ezért osztható 110-el. Pontosabban:
• Osztható 10-el. Azok a számok oszthatóak 10-el, amelyek utolsó számjegye 0. Vagyis

$e = color(red)0$ .
• Osztható 11-el. Azok a számok oszthatóak 11-el, amelyek páros sorszámú és páratlan sorszámú számjegyei összege egyenlő.

${(m * 1000 + s * 100 + t * 10 = (m + s + t) * 110), (s = m + t):}$

$m * 1000 + (m + t) * 100 + t * 10 = (m + m + t + t) * 110$

$m * 1000 + m * 100 + t * 100 + t * 10 = 2 * m * 110 + 2 * t * 110$

$m * 1100 + t * 110 = m * 220 + t * 220$

$m * 1100 - m * 220 = t * 220 - t * 110$

$m * 880 = t * 110$

$m * 8 = t$

Azaz a tízesek számjegye az ezresek számjegye 8-szorosa. Mivel a számunk 4 számjegyű, az ezresek számjegye nem lehet 0. Akkor meg

$m = color(red)1$ . (Mert ha 2 volna, akkor a tízesek

$2 * 8 = 16$ már nem egy számjegyű érték.)

$t = m * 8 = 1 * 8 = color(red)8$

$s = m + t = 1 + 8 = color(red)9$

Tehát a számunk

$color(red)1980$ .

Ellenőrzés:

$(m + s + t + e) * 110 = (1 + 9 + 8 + 0) * 110 = 18 * 110 = 1980$