Hasonlóságok

Megoldás
1. Feladat
Összefoglalás:

Adott egy ábra, amelyen párhuzamos egyenesek metszik egymást. Két háromszög oldalainak hosszát ismerjük részben, a többit ki kell számolnunk. Az ismert adatok egy táblázatban vannak összefoglalva.

Cél:

Meg kell határoznunk az ábrán látható hasonló háromszögeket.
Ki kell számolnunk a hiányzó oldalhosszakat a táblázatban, figyelembe véve a hasonlóság arányát.
Terv:

Azonosítjuk az ábrán a hasonló háromszögeket a párhuzamos egyenesek és a váltószögek alapján.
Meghatározzuk a hasonlóság arányát a két háromszög ismert oldalainak arányából.
A hasonlóság arányát felhasználva kiszámoljuk a hiányzó oldalhosszakat.
Ellenőrizzük a számításainkat.
Megoldás:

I. Hasonló háromszögek azonosítása:

Az ábrán a DCE és ABE háromszögek hasonlóak.

Indoklás:

A DE és AB oldalak párhuzamosak, így a CDE és ABE szögek váltószögek, tehát egyenlőek.
A CED és AEB szögek csúcsszögek, tehát egyenlőek.
Két szögük egyenlősége miatt a DCE és ABE háromszögek hasonlóak.
II. Hasonlóság arányának meghatározása:

A DCE és ABE háromszögek hasonlóságának aránya 2:3.

Indoklás:

Az AB oldal hossza 7 egység, a DE oldal hossza 14 egység.
A hasonlóság aránya AB
= 7:14 = 1:2.
A hasonlóság aránya fordítva is igaz: DE
= 2:1.
III. Hiányzó oldalhosszak kiszámítása:

1. táblázat:

c = (2/3) * 9 = 6 (A hasonlóság aránya alapján a c oldal hossza a 9 egység 2/3-a.)
y = (3/2) * 6 = 9 (A hasonlóság aránya alapján az y oldal hossza a 6 egység 3/2-szerese.)
2. táblázat:

b = (2/3) * 7 = 14/3 (A hasonlóság aránya alapján a b oldal hossza a 7 egység 2/3-a.)
x = (3/2) * 8 = 12 (A hasonlóság aránya alapján az x oldal hossza a 8 egység 3/2-szerese.)
IV. Ellenőrzés:

A hasonlóság arányát felhasználva kiszámolt oldalhosszakat összehasoníthatjuk az ábrán látható méretekkel.
A DCE és ABE háromszögek oldalainak aránya minden esetben 2:3, ami megerősíti a számításaink helyességét.
Megjegyzés: A feladatban szereplő "szög szárait" kifejezés valószínűleg a szög két szárú szöget bezáró egyenesére utal, nem pedig a háromszög oldalaira.