Mi a nagyobbik oldal hossza? (pitagorasz-tétel)

A magasság a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja, ahol az egyik háromszögben az egyik hegyesszög 45°-os. Mivel tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért ebben a derékszögű háromszögben a másik hegyesszög nagysága is 45°-os, tehát ez egy egyenlő szárú derékszögű háromszög.
Nem tudjuk, hogy a 45°-os szögű derékszögű háromszögbe melyik oldalrész esik, tehát mindkettőt végig kell számolnunk;

-ha a 20 cm-es rész esik, akkor a másik befogó, tehát a háromszög magasságának hossza is 20 cm hosszú, így itt az átfogó (b) hossza Pitagorasz tételéből:

b² = 20² + 20² = 800, tehát a b oldal hossza √ 800  cm, kerekítve 28,28 cm.
A másik derékszögű háromszögben így a két befogó hossza így 20 és 21 cm hosszú, tehát az átfogójának (a) hossza szintén Pitagorasz tétele szerint;

a² = 20² + 21² =841, tehát a másik oldal hossza √ 841  cm=29 cm.

-ha a 21 cm-es rész esik, akkor a magasság is 21 cm hosszú, így Pitagorasz tételéből az átfogó hossza √ 21²+21² =√ 882 cm, kerekítve 29,7 cm. A másik derékszögű háromszögben a befogók hossza 20 és 21 cm-esek, tehát ugyanazt a Pitagorasz-tételt írjuk fel, mint az előbb, és 29-et kapunk az átfogóra.

A második esettel gond van, mivel létezik az a tétel, hogy nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög található, ezért a 45°-os szöggel szemközt kellene a nagyobb oldalnak lennie, viszont most a kisebb került vele szembe, tehát ez a megoldás nem lesz jó. Az első esettel nincs semmi probléma, így az lesz a nyerő.
Máshogyan is kerülhet, hogy a második eset rossz; a B csúcsból eresszünk egy szakaszt a háromszög magasságára úgy, hogy egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, vagyis 20-20 befogójú keletkezzen. Ezen felül még lesz egy 1 cm-es szakasz, vagyis a B csúcsnál fekvő szög így biztosan nagyobb 45°-nál, ami ellentmond az eredeti feltételnek.

Tehát a nagyobbik oldal 29 cm hosszú.