Szöveges

Legyen a rövidebbik befogó hossza x cm, ekkor a másik x+4 cm hosszú. A derékszögű háromszög területe úgy is számolható, hogy (befogók szorzata)/2, esetünkben (x*(x+4))/2, ennek kell 262,5 cm-nek lennie, tehát:

(x*(x+4))/2 = 262,5, 2-vel szorzunk:
x*(x+4) = 525. Ha feltesszük, hogy x egész, akkor a bal oldalon olyan szorzat van, melynek minden tényezője egész, így a szorzat értéke is egész, és 525-nek kell lennie, ez viszont csak úgy lehet, hogyha x és (x+4) is osztója az 525-nek, de olyan osztókat keresünk, amik "közel vannak egymáshoz". Hamar rátalálhatunk a megoldásra; ha osztjuk 25-tel, akkor 21-et kapunk, és ez jó is, mivel 21+4=25, tehát x=21, így a rövidebb befogó 21 cm-es, a hosszabb oldala 25 cm-es.

Ha tanultad az egyenlet megoldóképletét, akkor egyszerűen kibontod azárójeleket és a jobb oldalt 0-ra rendezed, és az x²+4x-525 = 0 egyenletet kapod, ezt meg tudod oldani a megoldóképlettel (az egyik megoldás negatív lesz, az minket nem érdekel).

Ha nem tanultad a megoldóképletet, anélkül is meg lehet oldani, egyszerűen a teljes négyzetté alakítást kell használni:
(x+2)²-4-525 = 0, összevonunk:
(x+2)²-529 = 0, hozzáadunk 529-et:
(x+2)² = 529, gyököt vonunk (definíció szerint)
|x+2| = 23, ennek két megoldása van; x=21 és x=-25, utóbbira nincs szükségünk.

A feladat legegyszerűbb megoldását úgy kapjuk, hogyha az adatokat okosan választjuk meg; ha a rövidebb befogót x-2-nek, a rövidebbet x+2-nek, akkor ezt az egyenletet kapjuk:

((x-2)*(x+2))/2 = 262,5, ebből egy sokkal egyszerűbb egyenlet kerekedik:
x²-4 = 525, erre kér megoldást kapunk: x=23 és x=-23. Ha x=23, akkor a rövidebb oldal 23-2=21 cm-es, a hosszabb oldal 23+2=25 cm-es, ha viszont x=-23, akkor a rövidebb oldal -23-2=-25 cm-es lenne, ha ilyen létezne.

Lényeg a lényeg: a befogók hossza 21 és 25 cm. A harmadik oldalt, vagyis az átfogót Pitagorasz tételéből tudjuk meg:

c² = 21² + 25², ennek megoldása c=√ 1066 =~32,65 cm, ilyen hosszú az átfogó.