Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Mértani sorozat

458
Egy mértani sorozat első három elemének összege 105, az első és a harmadik elem szorzata 400. Mennyi az első 7 elem összege, az a1 és a q?

Köszönöm a válaszokat!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matek mértani sorozat
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Az első három elem összege 105:
`a_1+a_1q+a_1q^2=105`
`a_1(1+q+q^2)=105`

Az első és a harmadik elem szorzata 400:
`a_1*a_1q^2=400`
`(a_1q)^2=400`
`a_1q=20` vagy `a_1q=-20`

Ha `a_1q=20`:
`20/q(1+q+q^2)=105`
`20+20q+20q^2=105q`
`20-85q+20q^2=0`
`4q^2-17q+4=0`
Másodfokú egyenletet kaptunk, amiből `q=4` vagy `q=1/4`. A hozzájuk tartozó első elemek rendre `a_1=5` és `a_1=80`.

Ha `a_1q=-20`:
`-20/q(1+q+q^2)=105`
`20+20q+20q^2=-105q`
`20+125q+20q^2=0`
`4q^2+25q+4=0`
Ebből is kijön két megoldás, de ezek már sokkal csúnyábbak, innen `q=(-25+sqrt(561))/8` vagy `q=(-25-sqrt(561))/8`, a hozzájuk tartozó első elemek pedig rendre `a_1=160/(25-sqrt(561))` és `a_1=160/(25+sqrt(561))`.

Tehát összesen négy ilyen sorozat van:

`a_1=5` és `q=4`

`a_1=80` és `q=1/4`

`a_1=160/(25-sqrt(561))` és `q=(-25+sqrt(561))/8`

`a_1=160/(25+sqrt(561))` és `q=(-25-sqrt(561))/8`
0