Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Mértani sorozat

1954
Egy mértani sorozat első három elemének összege 105, az első és a harmadik elem szorzata 400. Mennyi az első 7 elem összege, az a1 és a q?

Köszönöm a válaszokat!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matek mértani sorozat
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Az első három elem összege 105:
`a_1+a_1q+a_1q^2=105`
`a_1(1+q+q^2)=105`

Az első és a harmadik elem szorzata 400:
`a_1*a_1q^2=400`
`(a_1q)^2=400`
`a_1q=20` vagy `a_1q=-20`

Ha `a_1q=20`:
`20/q(1+q+q^2)=105`
`20+20q+20q^2=105q`
`20-85q+20q^2=0`
`4q^2-17q+4=0`
Másodfokú egyenletet kaptunk, amiből `q=4` vagy `q=1/4`. A hozzájuk tartozó első elemek rendre `a_1=5` és `a_1=80`.

Ha `a_1q=-20`:
`-20/q(1+q+q^2)=105`
`20+20q+20q^2=-105q`
`20+125q+20q^2=0`
`4q^2+25q+4=0`
Ebből is kijön két megoldás, de ezek már sokkal csúnyábbak, innen `q=(-25+sqrt(561))/8` vagy `q=(-25-sqrt(561))/8`, a hozzájuk tartozó első elemek pedig rendre `a_1=160/(25-sqrt(561))` és `a_1=160/(25+sqrt(561))`.

Tehát összesen négy ilyen sorozat van:

`a_1=5` és `q=4`

`a_1=80` és `q=1/4`

`a_1=160/(25-sqrt(561))` és `q=(-25+sqrt(561))/8`

`a_1=160/(25+sqrt(561))` és `q=(-25-sqrt(561))/8`
0