Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Emelt matek, parabola érintője
patyimazli
kérdése
73
A Geometriai feladatok gyűjteményéből a 4121-es feladatban akadtam el. Így szól: az y² =28 x egyenletű parabolához érintőt húzunk. Az érintő a parabolát a P pontban érinti, az x tengelyt a Q pontban metszi. Írjuk fel az érintő egyenletét, ha PQ=24 egység.
Tehát Q második koordinátája 0. Arra rájöttem, hogy ha megvan Q első koordinátája, onnan egy Pitagorasz tétellel és további számolásokkal el lehet jutni a megoldáshoz. De nem tudok eljutni a Q első koordinátájáig. Megpróbáltam kihasználni, hogy az érintési pontban a parabola deriváltja megadja az érintő meredekségét, illetve felírtam egy egyenletrendszert, amikből kijött, hogy ha P koordinátái x1 és y1, akkor Q koordinátái -x1 és 0. Ez gyanúsan jó, ugyanakkor úgy tudom, nem lehetne deriválni a parabolát, mert nem kölcsönösen egyértelmű a hozzárendelése.
Köszönöm szépen, ha valaki tud segíteni!
Tehát Q második koordinátája 0. Arra rájöttem, hogy ha megvan Q első koordinátája, onnan egy Pitagorasz tétellel és további számolásokkal el lehet jutni a megoldáshoz. De nem tudok eljutni a Q első koordinátájáig. Megpróbáltam kihasználni, hogy az érintési pontban a parabola deriváltja megadja az érintő meredekségét, illetve felírtam egy egyenletrendszert, amikből kijött, hogy ha P koordinátái x1 és y1, akkor Q koordinátái -x1 és 0. Ez gyanúsan jó, ugyanakkor úgy tudom, nem lehetne deriválni a parabolát, mert nem kölcsönösen egyértelmű a hozzárendelése.
Köszönöm szépen, ha valaki tud segíteni!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
függvények, koordinátageometria, parabola, érintő, emeltmatek
függvények, koordinátageometria, parabola, érintő, emeltmatek
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
kazah
megoldása
`y^2=28x`
Van egy egyenesünk, `y=mx+b` egyenlettel. Keressük meg az érintő egyenletét (általánosan).
`y^2=(mx+b)^2`
`m^2x^2+2mbx+b^2=28x`
`m^2x^2+(2mb-28)x+b^2=0`
Ott érinti, ahol a diszkrimináns nulla.
`(2mb-28)^2-4m^2b^2=0`
`4m^2b^2-112mb+28^2-4m^2b^2=0`
`28^2=112mb`
`m*b=7`
Az egyenes egyenlete:
`y=mx+7/m`
A Q pontunk (ahol y=0):
`mx+7/m=0` `to` `x=-7/m^2` `to` `Q(-7/m^2,0)`
P pontunk: (x;mx+7/m) az egyenesből
és `(x;pmroot()(28x))` a parabolából.
`root()(28x)=mx+7/m`
`m^2x^2+14x+49/m^2=28x`
`(mx-7/m)^2=0`
`mx=7/m`
`x=7/m^2`
`P(7/m^2;14/m)`
A két pont távolsága:
`24=root()((14/m^2)^2+(14/m)^2)`
`m=pmroot()(7)/3`
`y=mx+7/m` = `pmroot()(7)/3*x pm 3*root()(7)`
Érdemes ellenőrizni a távolságra.
Van egy egyenesünk, `y=mx+b` egyenlettel. Keressük meg az érintő egyenletét (általánosan).
`y^2=(mx+b)^2`
`m^2x^2+2mbx+b^2=28x`
`m^2x^2+(2mb-28)x+b^2=0`
Ott érinti, ahol a diszkrimináns nulla.
`(2mb-28)^2-4m^2b^2=0`
`4m^2b^2-112mb+28^2-4m^2b^2=0`
`28^2=112mb`
`m*b=7`
Az egyenes egyenlete:
`y=mx+7/m`
A Q pontunk (ahol y=0):
`mx+7/m=0` `to` `x=-7/m^2` `to` `Q(-7/m^2,0)`
P pontunk: (x;mx+7/m) az egyenesből
és `(x;pmroot()(28x))` a parabolából.
`root()(28x)=mx+7/m`
`m^2x^2+14x+49/m^2=28x`
`(mx-7/m)^2=0`
`mx=7/m`
`x=7/m^2`
`P(7/m^2;14/m)`
A két pont távolsága:
`24=root()((14/m^2)^2+(14/m)^2)`
`m=pmroot()(7)/3`
`y=mx+7/m` = `pmroot()(7)/3*x pm 3*root()(7)`
Érdemes ellenőrizni a távolságra.
0
- Még nem érkezett komment!