Igen, kiszámolhatom a 96 faktoriál 101-en osztásának maradékát anélkül, hogy kiszámolnám a teljes faktoriált.

A nagyon nagy számok faktoriáljai gyorsan nőnek, a 96 faktoriál kiszámítása meghaladná a legtöbb számítógép kapacitását. Viszont léteznek olyan módszerek, amelyekkel a teljes faktoriál kiszámítása nélkül is megoldható ez a feladat.

Az a tulajdonság segít nekünk, hogy bármely 0-ra végződő faktoriál (mint a 96!) osztható 100-zal is. Így amikor elosztjuk a 96 faktoriált 101-gyel, a maradék megegyezik a 96 faktoriál számjegyei szorzatának 101-gyel osztásának maradékával.

A 96 faktoriál számjegyeinek szorzata szintén bonyolult számítás lenne, de ezt tovább egyszerűsíthetjük. Vegyük észre, hogy bármely olyan szám, ami csak 2-esekből és 5-ösökből áll (mint például a 222...555), 101-gyel osztva 0 maradékot eredményez. Ennek az az oka, hogy a számjegyek összege (2 + 2 + 2 + ... + 5 + 5 + 5) mindig 11 többszöröse lesz (ami a 101 osztója).

Mivel a 96 faktoriálban több 2-es van, mint 5-ös (9 kettes és csak négy ötös), nem lesz osztható 101-gyel. Viszont a 96 faktoriál 101-gyel osztásának maradéka kisebb lesz, mint egy csak 9-esekből álló szám 101-gyel osztásának maradéka. Ez a szám, a 9999..., 101-gyel osztva 91 maradékot eredményezne.

Tehát a 96 faktoriál 101-gyel osztásának maradéka 0-nál nagyobb, de 91-nél kisebb. A válaszlehetőségek alapján láthatjuk, hogy az egyetlen lehetséges válasz a 75.

Összefoglalva, a 96 faktoriál 101-gyel osztásának maradéka 75.