Másodfokú egyenlőtlenség

`sqrt(5x+8)lt2x-11`

Érdemes legelső lépésként meghatározni az értelmezési tartományt amihez tudunk viszonyítani.

A gyök alatti kifejezés nem lehet negatív, tehát:

`5x+8ge0`

`5xge-8`

`xge-8/5`

Tehát x értéknek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie mint `-8/5` ez fontos lesz a megoldás szempontájból.

Másodszor, mivel a gyökjel alatti érték és a 2x-11 kifejezés is valós számok bekell bizonyítsuk, hogy ezek is nagyobbak mint 0.

`2x-11gt0`

`2xgt11`

`xgt11/2`


Rendezzük a megadott egyenletet.

`sqrt(5x+8)lt2x-11`

`5x+8lt(2x-11)^2`

`5x+8lt4x^2-44x+121`

`0lt4x^2-49x+113`


Tegyük egyenlővé 0-val a jobb oldalt, hogy megtudjuk oldani mint egy másodfokú egyenletet így megkapva a gyököket.

`0=4x^2-49x+113`

`x_(1,2) = (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)=(49+-sqrt((-4)^2-4*4*113))/(2*4)=(49+-sqrt593)/8={(x_1=(49+sqrt593)/8) , (x_2 =(49-sqrt593)/8):}`

Most a két kapott gyököt hasonlítsuk össze az érelmezési tartománnyal és amelyik bele esik az megoldás míg a másik hamis gyök.

`ÉT_1ltx_1`

`-8/5lt(49+sqrt593)/8`

`-1,6lt"9,17"` Ez teljesül.



`ÉT_2ltx_2`

`11/2lt(49-sqrt593)/8`

`"5,5" \ lt \ "3,08"` Nem teljesül.


Tehát az egyetlen helyes megoldás `x_1=(49+sqrt593)/8`

Intervallumban kifejezve: `color(red)(x in langle(49+sqrt593)/8;+oorangle)`


A feladatot fehér színnel oldottam meg amennyiben megoldásnak jelölöd a válaszom elérhetővé teszem számodra a megoldást. Egyéb esetben természetesen nem áll módomban közzétenni. Előre is köszönöm