Question

A körvonal érintője

tanuló12355 kérdése

228 12 hónapja

Határozzátok meg a körhöz egy adott T pontban húzott érintő egyenletét:
(x-3)²+(y+5)² = 20
T[x₀, -3]

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.

0

Középiskola / Matematika

Válaszok

1

**bazsa990608** { Közgazdász } megoldása · Accepted Answer · 2024-04-06 17:44:36

Tehát a feladat által megadott kör egyenlete

$(x-3)^2+(y+5)^2=20$ ebből letudjuk szűrni a kör középpontját valamint a sugarát a kör alapképletét használva

$(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$ melyben

$u$ jelöli a kör középpontjának

$x$ koordinátáját

$v$ pedig a köz középpontjának

$y$ koordinátáját,

$r$ pedig értelemszerűen a sugár.

A kör középpontja

$O(3;-5)$

A kör sugara pedig:

$sqrt20$

Tudjuk, hogy a kör érintő pontjai az

$y=-3$ értéket veszik fel. És nekünk azt kell meghatározni mely

$x$ koordináták esetén valósul meg. Két eset lehetséges, hiszen az egyik egyenes nőni fog a másik csökkenni. Hiszen pozitív és negatív irányba is húzható érintő.

Helyettesítsük be a feladat által adott egyenletbe a

$T$ azaz az érintő pont ismert adatait.

$(x_0-3)^2+(-3+5)^2=20$

$x_0^2-6x_0+9+4=20$

$x_0^2-6x_0-7=0$

$x_0^2+x_0-7x_0=0$

Alakítsuk szorzattá, hogy megkapjuk a két gyököt.

$x_0*(x_0+1)-7*(x_0+1)=0$

$(x_0+1)*(x_0-7)=0$

Itt két eset lehetséges:

$x_0+1=0=>x_0=-1$

$x_0-7=0=>x_0=7$

Tehát az egyik egyenes érintő pontja

$T_1(7;-3)$ a másik egyenes érintő pontja pedig

$T_2(-1;-3)$ lesz.

$T_1$ pont érintő és a kör középpontját összekötő szakasz meredeksége:

$m_1=(-3-(-5))/(7-3)=1/2$

Az érintő meredeksége lesz az

$OT_1$ szakasz meredekségének negatív reciprok értéke, mivel az érintő merőleges a sugárra így:

$m=-1/(1/2)=-2$

$T_2$ pont érintő és a kör középpontját összekötő szakasz meredeksége:

$m_2=(-3-(-5))/(-1-3)=-1/2$

Az érintő meredeksége lesz az

$OT_2$ szakasz meredekségének negatív reciprok értéke, mivel az érintő merőleges a sugárra így:

$m=-1/(-1/2)=2$

A

$T_1$ érintési ponton áthaladó egyenes egyenlete tehát:

$y-y_1=m*(x-x_1)$

$y-(-3)=-2*(x-7)$

$y+3=2x+14$

$color(red)(y=-2x+11)$

A

$T_2$ érintési ponton áthaladó egyenes egyenlete tehát:

$y-y_1=m*(x-x_1)$

$y-(-3)=2*(x-(-1))$

$y+3=2x+2$

$color(red)(y=2x-1)$

Az ábrát a linkre kattintva eléred: https://www.geogebra.org/calculator/a4yajf4g

A feladatot fehér színnel oldottam meg amennyiben megoldásnak jelölöd a válaszom elérhetővé teszem számodra a megoldást. Egyéb esetben természetesen nem áll módomban közzétenni. Előre is köszönöm

Keresés

Toplista

A körvonal érintője

Válaszok