`bb"1. Feladat"`
`"Adott a limitünk:"`
`lim_(n->oo)(frac{n+6}{n})^(2n)`
`"Elvégezzük a zárójelben az egyszerűsítést:"`
`lim_(n->oo)(frac{n+6}{n})^2=lim_(n->oo)(1+frac{6}{n})^(2n)`
`"Itt több lehetőségünk is van, a legegyszerűbb:"`
`(1+frac{6}{n})^(2n)=e^(2n*ln(1+frac{6}{n})) -> lim_(n->oo)(1+frac{6}{n})^(2n)=lim_(n->oo)e^(2n*ln(1+frac{6}{n})`
`"Limit chain rule:"`
`lim_(x->a)f(g(x)) -> lim_(x->a)g(x)=b " aztán az eredetiben alkalmazunk egy u-subot,"`
`"illetve ennek értelmében már "u->b" limitet keresünk"`
`g(x)=u -> lim_(u->b)f(u)`
`"Alkalmazzunk tehát ezt a jelen limiten:"`
`lim_(n->oo)2n*ln(1+frac{6}{n})`
`"A konstans kikerülhet:"`
`2*lim_(n->oo)nln(1+frac{6}{n})`
`"Átírjuk, hogy alkalmazni tudjuk a L' Hopital-t:"`
`2*lim_(n->oo)nln(1+frac{6}{n})=2*lim_(n->oo)(frac{ln(1+frac{6}{n})}{frac{1}{n}})`
`"Mostmár simán tudjuk alkalmazni L' Hopital szabályát:"`
`lim_(x->a)frac{f(x)}{g(x)}=lim_(x->a)frac{f'(x)}{g'(x)}`
`"Azt mondja ki, ha függvény osztva függvénnyel limitet keresünk, vehetjük a deriváltjaikat is:"`
`frac{d}{dn}(ln(1+frac{6}{n})=frac{d}{dn}(f(g(n))`
`"Itt most a deriválás láncszabályát kell alkalmazni:"`
`F'=f'(g(x))*g'(x)`
`"Az egyik nagyon könnyű, mert: " frac{d}{dx}(ln(x))=frac{1}{x} " tehát az új kifejezés:"`
`frac{1}{1+frac{6}{n}}frac{d}{dn}(1+frac{6}{n})`
`frac{d}{dn}(1+frac{6}{n})=-frac{6}{x^2}`
`"Behelyettesítve:"`
`frac{1}{1+frac{6}{n}}*(-frac{6}{n})=color(red)(-frac{6}{n(n+6)})`
`frac{d}{dn}(frac{1}{n})=color(red)(-frac{1}{n^2})`
`"Visszarakva ezeket a limitbe:"`
`2*lim_(x->oo)(frac{ln(1+frac{6}{n})}{frac{1}{n}})=2*lim_(x->oo)(-frac{frac{6}{n(n+6)}}{-frac{1}{n^2}})`
`"Egyszerűsítünk:"`
`2*lim_(x->oo)(-frac{frac{6}{n(n+6)}}{-frac{1}{n^2}})=2*lim_(x->oo)(frac{6n}{n+6})`
`"Konstans megint kikerülhet, illetve oszthatunk a legnagyobb hatványú változóval, most n-nel:"`
`2*6*lim_(x->oo)(frac{1}{1+frac{6}{n}})=12*frac{lim_(x->oo)(1)}{lim_(x->oo)(1+frac{6}{n})}`
`lim_(x->oo)(1)=1 " és " lim_(x->oo)(1+frac{6}{n})=1`
`12*frac{lim_(x->oo)(1)}{lim_(x->oo)(1+frac{6}{n})}=12*lim_(x->oo)(frac{1}{1})=12*1=color(red)(12)`
`color(red)(b=12)`
`color(red)(u=g(x)=2n*ln(1+frac{6}{n})`
`lim_(u->b)(e^u)=lim_(u->12)(e^u)`
`"Behelyettesítjük u-t:"`
`lim_(u->12)(e^u)=lim_(u->12)(e^(12))=color(red)(e^(12))`
`color(red)(lim_(n->oo)(frac{n+6}{n})^(2n)=e^12)`

`bb"2. Feladat"`
`"Adott a limitünk:"`
`lim_(n->oo)(sqrt(n^(2)+2)-n)" Beszorzunk "(sqrt(n^(2)+2)+n)"-vel, mivel a behelyettesítés most nem segít:"`
`frac{(sqrt(n^(2)+2)-n)(sqrt(n^(2)+2)+n)}{sqrt(n^(2)+2)+n}`
`"Leegyszerűsítjük:"`
`lim_(n->oo)(frac{(sqrt(n^(2)+2)-n)(sqrt(n^(2)+2)+n)}{sqrt(n^(2)+2)+n})=color(red)(lim_(n->oo)(frac{2}{sqrt(n^(2)+2)+n})`
`"Konstans megint kikerül:"`
`lim_(n->oo)(frac{2}{sqrt(n^(2)+2)+n})=2*lim_(n->oo)(frac{1}{sqrt(n^(2)+2)+n})`
`2*lim_(n->oo)(frac{1}{sqrt(n^(2)+2)+n})=2*frac{lim_(n->oo)(1)}{lim_(n->oo)(sqrt(n^(2)+2)+n)}`
`lim_(n->oo)(1)=1" és " lim_(n->oo)(sqrt(n^(2)+2)+n)=oo`
`2*lim_(n->oo)(frac{1}{sqrt(n^(2)+2)+n})=color(red)(2*frac{1}{oo}=2*0=0)`
`color(red)(lim_(n->oo)(sqrt(n^(2)+2)-n)=0)`