Nagyon későn van, így csak röviden a válasz fényképen, vagy mozgathatóan:
https://www.geogebra.org/m/v8X6nvN9
Ha szükséges, holnap részletesebben is elmondom, ami nem világos ezekből.

Én az alapot választom ismeretlennek; legyen a másik alap hossza x cm, ekkor a magasság 30-x cm hosszú. A területképlet segítségével írjuk fel a trapéz területét:

Ttrapéz=(alapok összege)*magasság/2 = (12+x)*(30-x)/2 =-x²/2+9x+180, ennek a függvénynek kell a maximuma.

Másodfokú függvényt könnyen meg lehet határozni két lépésben, ehhez tudnunk kell néhány tulajdonságot;

-a másodfokú függvény képe szimmetrikus a koordináta-rendszerben (parabola), emiatt elég a kifejezés gyökeit meghatározni (ahol a függvényérték 0)
-a végén lévő +180 nem befolyásolja a szélsőérték helyét.

Tehát csak a -x²/2+9x=0 egyenletet kell megoldanunk, ami könnyen fog menni akkor, ha kiemelünk x-et;

x*(-x/2 + 9)=0, ez akkor 0, ha vagy x=0, vagy -x/2 + 9=0, vagyis x=18. Most azt kell megnézni, hogy a 0-tól és a 18-tól melyik szám van egyenlő távolságra, ez az x=9, tehát a másodfokú kifejezésnek ott van a maximuma. (Természetesen más módokon is meghatározható a maximum, de ez a legegyszerűbb.)

Azt kaptuk, hogy a másik alapot 9 cm hosszúnak kell választanunk, ekkor a magasság 21 cm hosszú lesz, így a területe (12+9)*21/2=220,5 cm² lesz.