Ez csak annyit jelent, hogy a körlapon lévő pontok koordinátái játszanak csak.

Alakítsuk át az f(x;y) függvényt: x²+3*(y²+(2/3)y) = x²+3*(((y+(1/3))²-1/9) = x² + 3*(y+(1/3))² - 1/3. Nem nehéz rájönni, hogy ennek x=0 és y=-1/3 esetén van minuma, a minimum értéke -1/3. Mivel a (0;-1/3) pont rajta van a körlapon, ezért a minimumot megleltük.
Arra sem nehéz rájönni, hogy a maximum a körvonalon lesz, mivel ha a körlapon lévő pontok közül akármelyiket, például az (1;1) pontot választjuk, akkor akármelyik koordinátát növelve a függvényérték is nő. Tehát az x²+y²=9 egyenletű körrel foglalkozunk. Ha átrendezzük az egyenletet x²-re: x²=9-y², és ezt beírjuk x² helyére az f(x;y) egyenletben, akkor a 9-y²+3y²+2y=2y²+2y+9 függvényt kapjuk, ennek keressük a maximumát a [-3;3] intervallumon (azért ezen, mert ha ezen kívül keresnénk, akkor x koordinátája nem jönne ki). Nem nagy bűvésztrükk, hogy y=3 esetén lesz ennek maximuma, a függvényérték 33, és ha y=3, akkor x² = 9-3², vagyis x=0, így a (0;3) pontban lesz maximuma.

A másodikat ugyanúgy kezdjük, ahogyan az elsőt befejeztük; x² = 1-y², ezt beírjuk x² helyére:

1-y²+3y²+2y = 2y²+2y+1 = 2*(y²+y)+1 = 2*((y+1/2)²-1/4)+1 = 2(y+1/2)²-2/4+1 = 2(y+1/2)²+1/2, ahol a függvényt a [-1;1] intervallumon vizsgáljuk. Látható, hogy y=-1/2 esetén van minimuma, ekkor a függvényérték 1/2, a pont másik koordinátája:
x² = 1-(1/2)² = 1-1/4 = 3/4, vagyis x=±√3/2, tehát a függvénynek két helyen is minimuma van; a (√3/2;1/2) és a (-√3/2;1/2) pontokban.
A maximum kiszámítása szintén nem nagy varázslat, az y=1 helyen lesz, értéke 5, a másik koordináta 0, így a (0;1) pontban lesz a függvénynek maximuma.

Ha valami nem világos, nyugodtan kérdezz utána.

Ha kicsit jobban megvizsgálod, lehet, hogy magadtól is rájönnél, de elmondom;

x² + 3*(y+(1/3))² - 1/3.

Az x² esetén nincs nagy talán, mivel ha x pozitív, akkor a függvényérték pozitív, ha x negatív, akkos szintén pozitív, ha 0, akkor 0, értelemszerűen ezek közül a legkisebb a 0.
3*(y+(1/3))² ugyanaz a történet; ha y>-1/3, akkor a függvényérték pozitív, ha y<-1/3, akkor ugyanúgy poiztív, ha pedig y=-1/3, akkor 0, és itt is igaz az , hogy 0<bármilyen pozitív szám.
Innen lehet tudni, hogy itt a minimum. Azt pedig onnan lehet tudni, hogy ez a minimum, hogy a 0+valami az mindig kisebb, mint a valamipozitív+valami, érthető okokból. Maximum akkor lenne, hogyha előtte negatív előjel lenne, mivel a -0+valami az mindig nagyobb, mint a -valamipozitív+valami.

2(y+1/2)²+1/2

Itt is arra hajtunk, hogy a négyzetes tag értéke 0 legyen, más különben pozitív lenne az érték, ez pedig az y=-1/2 esetén fog megvalósulni.

Eredetileg azért alakítottuk teljes négyzetté a kifejezéseket, hogy ránézésre meg lehessen mondani, hogy hol van minimuma és maximuma. A teljes négyzetté alakítás érthető? (Annak érthetőnek kell(ene) lennie, ha már kétismeretlenes függvényekkel foglalatoskodsz.)