Maradékos osztás 11. Osztály

2.
a)
A négyjegyű természetes számok, azaz 1000 és 9999 között
    • Az első, azaz 1000 osztva 6-tal 4 maradékot ad, tehát az első amelyik maradéka 5 az `1000 + (5 - 4) = 1001`
    • Az utolsó, azaz 9999 osztva 6-tal 3 maradékot ad, tehát az utolsó amelyik maradéka 5 az `9999 - 6 + (5 - 3) = 9995`
A két szélső érték között `(9995 - 1001) // 6 + 1 = color(red)1500` hasonló tulajdonságú szám van.

Ellenőrzés:
irb(main):001:0> (1000..9999).count { _1 % 6 == 5 }
=> 1500


b)
A négyjegyű természetes számok, azaz 1000 és 9999 között
    • Az első, azaz 1000 osztva 7-tel 6 maradékot ad
    • Az utolsó, azaz 9999 osztva 7-tel 3 maradékot ad, tehát az utolsó amelyik maradéka 6 az `9999 - 7 + (6 - 3) = 9995`
A két szélső érték között `(9995 - 1000) // 7 + 1 = color(red)1286` hasonló tulajdonságú szám van.

Ellenőrzés:
irb(main):002:0> (1000..9999).count { _1 % 7 == 6 }
=> 1286



3.
Itt megfigyelhessük, hogy minden szám egy 0-ra végződő szám hatványa plusz egy a hatványnál lényegesen kisebb szám.

0-ra végződő számok szorzásánál a szorzat legalább annyi 0-ra fog végződni ahány 0 összesen volt a szorzandók végén. (Például `1color(green)00 * 1color(blue)000 = 1color(green)00color(blue)000`.) Tehát ezeknek a hatványozásoknak az eredményei sok 0-ra fognak végződni, ezért az összegek mindig a rövid számok változatlan számjegyeire fognak végződni.


a) 10^32 + 342 3-mal osztva
Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.

A `10^32`-ben levő 32 darab 0 (pontosabban a 342-vel való összeadás után maradó 29 darab darab 0) nem bír jelentőséggel az oszthatóság megállapításánál. Tehát elég az 1342 oszthatóságát vizsgálni. `1 + 3 + 4 + 2 = 10` Az egyszerűség kedvéért elég a 10 oszthatóságát vizsgálni. 10 osztva 3 maradéka `color(red)1`.

Ellenőrzés:
irb(main):003:0> (10 ** 32 + 342) % 3
=> 1


b) 50^50 + 4567 5-tel osztva
Egy szám akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.

Mivel a `50^50` legalább 50 darab 0-ra végződik, hozzáadva 4567-hoz, nem változtat annak utolsó számjegyén. 7 osztva 5 maradéka `color(red)2`.

Ellenőrzés:
irb(main):004:0> (50 ** 50 + 4567) % 5
=> 2


c) 40^98 + 98 8-cal osztva
Egy szám akkor osztható 8-cal, ha az utolsó 3 számjegyéből alkotott szám is osztható 8-cal.

Mivel a `40^98` legalább 98 darab 0-ra végződik, hozzáadva 98-hoz, nem változtat annak utolsó 3 számjegyén. 98 osztva 8 maradéka `color(red)2`.

Ellenőrzés:
irb(main):005:0> (40 ** 98 + 98) % 8
=> 2


d) 10^32 + 2222 9-cel osztva
Egy szám akkor osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege is osztható 9-cel.

A `10^32`-ben levő 32 darab 0 (pontosabban a 2222-vel való összeadás után maradó 28 darab darab 0) nem bír jelentőséggel az oszthatóság megállapításánál. Tehát elég az 12222 oszthatóságát vizsgálni. `1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9` 9 osztva 9 maradéka `color(red)0`.

Ellenőrzés:
irb(main):006:0> (10 ** 32 + 2222) % 9
=> 0

(Ha nem érted az ellenőrzést, ne törődj vele. Csak kibújt belőlem a programozó.)

(Ha valaki a korábbi megoldásaimban látott módon a böngésző konzol ablakában JavaScript segítségével szeretné ellenőrizni az osztási maradékokat, ne tegye. Nem kezel hőbörödötten nagy számokat.)