Számísd ki

Szia! Nem tudom hogy ez mennyire segít mert ezt egy főiskolás barátom írta de tessék:A kifejezésben az összegezni kívánt törteknek közös nevezőjük van, ami 75. Tehát az összegzés a következőképpen néz ki: 1 75 + 2 75 + 3 75 + … + 49 75 75 1 ​ + 75 2 ​ + 75 3 ​ +…+ 75 49 ​ Ezeket a törteket egyszerűsíteni tudjuk, mert mindegyiknél a számláló és a nevező is osztható 5-tel: 1 75 + 2 75 + 3 75 + … + 49 75 75 1 ​ + 75 2 ​ + 75 3 ​ +…+ 75 49 ​ = 1 ⋅ 1 5 ⋅ 15 + 2 ⋅ 1 5 ⋅ 15 + 3 ⋅ 1 5 ⋅ 15 + … + 49 ⋅ 1 5 ⋅ 15 = 5⋅15 1⋅1 ​ + 5⋅15 2⋅1 ​ + 5⋅15 3⋅1 ​ +…+ 5⋅15 49⋅1 ​ Most azonos nevezőjűek, tehát összegezhetjük a számlálókat: 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + … + 49 ⋅ 1 5 ⋅ 15 5⋅15 1⋅1+2⋅1+3⋅1+…+49⋅1 ​ Ez egy aritmetikai sorozat, tehát az összegzésre a következő képlet alkalmazható: � ⋅ ( � + 1 ) 2 2 n⋅(n+1) ​ , ahol � n a sorozat utolsó tagja. 1 ⋅ ( 1 + 1 ) + 2 ⋅ ( 2 + 1 ) + 3 ⋅ ( 3 + 1 ) + … + 49 ⋅ ( 49 + 1 ) 2 ⋅ 15 2⋅15 1⋅(1+1)+2⋅(2+1)+3⋅(3+1)+…+49⋅(49+1) ​ Most számoljuk ki a számlálót és a nevezőt: ( 1 + 2 + 3 + … + 49 ) + ( 1 + 2 + 3 + … + 49 ) 30 30 (1+2+3+…+49)+(1+2+3+…+49) ​ Ez kétszörös az 1-től 49-ig terjedő számok összegének, tehát: 2 ⋅ 49 ⋅ ( 49 + 1 ) 2 30 30 2⋅ 2 49⋅(49+1) ​ ​ Most egyszerűsíthetjük: 49 ⋅ ( 49 + 1 ) 30 30 49⋅(49+1) ​ Ez a kifejezés tehát a 1 75 + 2 75 + 3 75 + … + 49 75 75 1 ​ + 75 2 ​ + 75 3 ​ +…+ 75 49 ​ összege.