Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Valószínűségszámítás vizsga
pinter-andrea4470
kérdése
582
. Van 200 darab égőnk, melyek élettartama exponenciális eloszlású, 2000 óra várható értékkel.
Addig használjuk őket, míg ki nem égnek.
(a) Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy az égők élettartamának átlaga legalább 2050
óra? (Az eredményét 4-tizedes pontossággal adja meg!) (kb. 0,3632)
Addig használjuk őket, míg ki nem égnek.
(a) Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy az égők élettartamának átlaga legalább 2050
óra? (Az eredményét 4-tizedes pontossággal adja meg!) (kb. 0,3632)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Exponenciális eloszlásnál E(X)=D(X) (=1/λ). Vagyis most
`µ` = E(X) = 2000
`σ` = D(X) = 2000
A centrális határeloszlás-tétel szerint `n` darab független valószínűségi változó összege `n·µ` várható értékű és `sqrtn·σ` szórású normális eloszláshoz konvergál. Standardizáltja, vagyis
`(sum_(k=1)^n X_k - n·µ)/(sqrtn·σ)`
pedig standard normális eloszlású.
Ha ezt egyszerűsítjük `n`-nel, ez lesz:
`((sum X_k)/n - µ)/(σ/sqrtn)`
Vagyis az átlag `µ` várható értékű és `σ/sqrtn` szórású normális eloszlás.
Az `n=200` elég nagy szám ahhoz, hogy már nagyon jó közelítéssel normális eloszlású legyen az átlag ilyen paraméterekkel:
`E(X_"átl")=µ=2000`
`D(X_"átl")=σ/sqrt(200) = 100·sqrt2`
`P(X_"átl" > 2050) = ?`
Ezt a szokásos módon, a standard normális eloszlás (`Φ`) táblázatával lehet kiszámolni:
A `2050` standardizált értéke `z=(2050-2000)/(100·sqrt2)=1/(2sqrt2)=0.35355`
A táblázat szerint
`Φ(0.35)=0.6368`
Ez a `P(Z < 0.35)` valószínűség. Nekünk a `P(Z > 0.35)` kell, ami `1-0.6368=0.3632`
Ezt a táblázatot használtam: http://siva.bgk.uni-obuda.hu/jegyzetek/Matematika/Gepesz/Ngepesz/masodik_felev/standard_normalis_eloszlas.pdf
`µ` = E(X) = 2000
`σ` = D(X) = 2000
A centrális határeloszlás-tétel szerint `n` darab független valószínűségi változó összege `n·µ` várható értékű és `sqrtn·σ` szórású normális eloszláshoz konvergál. Standardizáltja, vagyis
`(sum_(k=1)^n X_k - n·µ)/(sqrtn·σ)`
pedig standard normális eloszlású.
Ha ezt egyszerűsítjük `n`-nel, ez lesz:
`((sum X_k)/n - µ)/(σ/sqrtn)`
Vagyis az átlag `µ` várható értékű és `σ/sqrtn` szórású normális eloszlás.
Az `n=200` elég nagy szám ahhoz, hogy már nagyon jó közelítéssel normális eloszlású legyen az átlag ilyen paraméterekkel:
`E(X_"átl")=µ=2000`
`D(X_"átl")=σ/sqrt(200) = 100·sqrt2`
`P(X_"átl" > 2050) = ?`
Ezt a szokásos módon, a standard normális eloszlás (`Φ`) táblázatával lehet kiszámolni:
A `2050` standardizált értéke `z=(2050-2000)/(100·sqrt2)=1/(2sqrt2)=0.35355`
A táblázat szerint
`Φ(0.35)=0.6368`
Ez a `P(Z < 0.35)` valószínűség. Nekünk a `P(Z > 0.35)` kell, ami `1-0.6368=0.3632`
Ezt a táblázatot használtam: http://siva.bgk.uni-obuda.hu/jegyzetek/Matematika/Gepesz/Ngepesz/masodik_felev/standard_normalis_eloszlas.pdf
Módosítva: 6 éve
0
- Még nem érkezett komment!