Question

Valószínűségszámítás vizsga

pinter-andrea4470 kérdése

627 7 éve

. Van 200 darab égőnk, melyek élettartama exponenciális eloszlású, 2000 óra várható értékkel.
Addig használjuk őket, míg ki nem égnek.
(a) Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy az égők élettartamának átlaga legalább 2050
óra? (Az eredményét 4-tizedes pontossággal adja meg!) (kb. 0,3632)

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.

0

Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1

**bongolo** { } megoldása · Accepted Answer · 2018-01-09 00:52:26

Exponenciális eloszlásnál E(X)=D(X) (=1/λ). Vagyis most

$µ$ = E(X) = 2000

$σ$ = D(X) = 2000

A centrális határeloszlás-tétel szerint

$n$ darab független valószínűségi változó összege

$n·µ$ várható értékű és

$sqrtn·σ$ szórású normális eloszláshoz konvergál. Standardizáltja, vagyis

$(sum_(k=1)^n X_k - n·µ)/(sqrtn·σ)$
pedig standard normális eloszlású.

Ha ezt egyszerűsítjük

$n$ -nel, ez lesz:

$((sum X_k)/n - µ)/(σ/sqrtn)$
Vagyis az átlag

$µ$ várható értékű és

$σ/sqrtn$ szórású normális eloszlás.

Az

$n=200$ elég nagy szám ahhoz, hogy már nagyon jó közelítéssel normális eloszlású legyen az átlag ilyen paraméterekkel:

$E(X_"átl")=µ=2000$

$D(X_"átl")=σ/sqrt(200) = 100·sqrt2$

$P(X_"átl" > 2050) = ?$
Ezt a szokásos módon, a standard normális eloszlás (

$Φ$ ) táblázatával lehet kiszámolni:
A

$2050$ standardizált értéke

$z=(2050-2000)/(100·sqrt2)=1/(2sqrt2)=0.35355$

A táblázat szerint

$Φ(0.35)=0.6368$
Ez a

$P(Z < 0.35)$ valószínűség. Nekünk a

$P(Z > 0.35)$ kell, ami

$1-0.6368=0.3632$

Ezt a táblázatot használtam: http://siva.bgk.uni-obuda.hu/jegyzetek/Matematika/Gepesz/Ngepesz/masodik_felev/standard_normalis_eloszlas.pdf

Keresés

Toplista

Valószínűségszámítás vizsga

Válaszok