Egyenlet

Adjunk mindkét oldalhoz 2x²y²-et:

x⁴ + 2x²y² y⁴ + 2 = 4xy+2x²y², a bal oldalon így megjelent (x²+y²)², a jobb oldalon kiemelhető 2xy:

(x²+y²)² + 2 = 2xy*(1+2xy)

A jobb oldalon így két egymás követő szám szorzata látható (például 5*6). Ha kivonunk 2-t:

(x²+y²)² = 2xy*(1+2xy)-2, akkor az a kérdés, hogy melyik ilyen szorzat az, amelyből ha kivonunk 2-t, akkor négyzetszámot kapunk. A 0-1 párost kivéve a szomszédos négyzetszámok között a küönbség több, mint 2, ezért 2xy*(1+2xy)-2 értéke csak (2xy)² lehet, tehát:

2xy*(1+2xy)-2 = (2xy)², kivonjuk a (2xy)²-et és hozzáadjuk a 2-t:
2xy*(1+2xy)-(2xy)² = 2, kiemeljük a 2xy-t:
2xy*(1+2xy-2xy) = 2, összevonás után
2xy = 2 marad, vagyis xy = 1, ennek két megoldása van; ha x=1 akkor y=1 és ha x=-1 akkor y=-1, ezeket ellenőrizni kell.

A másik lehetőség, hogy a bal oldali négyzetszám értéke 0, ez viszont csak úgy lehet, hogyha x=0 és y=0. Ezt is ellenőrzini kell.

Ha esetleg valami elkerülte volna a figyelmünket, akkor a WolframAlpha úgyis meg fogja mutatni:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x4+%2B+y4+%2B+2+%3D+4xy

Ez is csak azokat mutatja, melyeket megtaláltunk, így nincs ok az aggodalomra.