Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika Légyszives segítsetek
Iván
kérdése
63
Hány olyan 100 összegű pozitı́v egészekből álló rendezett (a,b,c,d) számnégyes létezik, amely kielégı́ti a következő egyenlőségeket:
(a+b)(c+d) = (b+c)(a+d) = (a+c)(b+d)?
(a+b)(c+d) = (b+c)(a+d) = (a+c)(b+d)?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Maths323
{ Matematikus }
megoldása
Rövid válasz: 132
Hosszú válasz:
Gyűjtsük ki az adatokat:
(a+b)(c+d) = (b+c)(a+d) = (a+c)(b+d)
Ez felbontható 3 egyenletre:
(a+b)(c+d) = (b+c)(a+d)
(a+b)(c+d) = (a+c)(b+d)
(b+c)(a+d) = (a+c)(b+d)
Továbbá a 4 szám összege 100:
a+b+c+d=100
Felbontva a szorzatokat:
ac+ad+bc+bd=ab+bd+ac+cd
ac+ad+bc+bd=ab+ad+bc+cd
ab+bd+ac+cd=ab+ad+bc+cd
Az azonos tagokat ki lehet vonni, így megmarad:
ad+bc=ab+cd
ac+bd=ab+cd
bd+ac=ad+bc
Ezeket egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva:
(d-b)(a-c)=0
(a-d)(c-b)=0
(a-b)(c-d)=0
Ezekből egyértelműen látszik, hogy csak akkor teljesülnek, ha legalább három ismeretlen egyenlő egymással pl. a=b=d
Ebből adódik, hogy 33*4 ilyen rendezett számnégyes van.
Hosszú válasz:
Gyűjtsük ki az adatokat:
(a+b)(c+d) = (b+c)(a+d) = (a+c)(b+d)
Ez felbontható 3 egyenletre:
(a+b)(c+d) = (b+c)(a+d)
(a+b)(c+d) = (a+c)(b+d)
(b+c)(a+d) = (a+c)(b+d)
Továbbá a 4 szám összege 100:
a+b+c+d=100
Felbontva a szorzatokat:
ac+ad+bc+bd=ab+bd+ac+cd
ac+ad+bc+bd=ab+ad+bc+cd
ab+bd+ac+cd=ab+ad+bc+cd
Az azonos tagokat ki lehet vonni, így megmarad:
ad+bc=ab+cd
ac+bd=ab+cd
bd+ac=ad+bc
Ezeket egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva:
(d-b)(a-c)=0
(a-d)(c-b)=0
(a-b)(c-d)=0
Ezekből egyértelműen látszik, hogy csak akkor teljesülnek, ha legalább három ismeretlen egyenlő egymással pl. a=b=d
Ebből adódik, hogy 33*4 ilyen rendezett számnégyes van.
0
- Még nem érkezett komment!