Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Egy érdekes feladat(nem házi)
m.daniel2002
kérdése
489
Határozzuk meg azokat az a, b, c, d pozitív egész számokat, amelyekre teljesül, hogy abcd−1∣a+b+c+d.
Nem házi, csak szerettem volna megosztani veletek, ezt a feladatot, nekem belement egy-két órám
, akit érdekel 40 db megoldás létezik, hogyha 10-20 perc alatt megtalálod az összeset, akkor ügyes vagy 
Nem házi, csak szerettem volna megosztani veletek, ezt a feladatot, nekem belement egy-két órám
, akit érdekel 40 db megoldás létezik, hogyha 10-20 perc alatt megtalálod az összeset, akkor ügyes vagy
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
1
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Rantnad
{ 
}
megoldása
Vegyük szét esetenként aszerint, hogy hány darab 1-es van az a;b;c;d számok között;
-ha mindenki 1-es, akkor 1*1*1*1-1 | 1+1+1+1, vagyis 0|4, ez nem igaz.
-ha három 1-es van, akkor a*1*1*1-1 | a+1+1+1, tehát a-1 | a+3, itt írjuk át törtalakba:
(a+3)/(a-1) = (a-1+4)/(a-1) = (a-1)/(a-1) + 4/(a-1) = 1+4/(a-1), ez akkor egész, hogyha a 4/(a-1) egész, ez a=2;3;5 esetén lesz így.
-ha két 1-es van, akkor a*b*1*1-1 | a+b+1+1, vagyis ab-1 | a+b+2. Első körben az egyértelmű, hogy az osztandónak muszáj legalább annyinak lennie, mint az osztó, vagyis:
a+b+2 ≥ ab-1, kivonunk a-t:
b+2 ≥ ab-1-a, kiemelünk a-t:
b+2 ≥ a*(b-1)-1, hozzáadunk 1-et:
b+3 ≥ a*(b-1), végül osztunk (b-1)-gyel:
(b+3)/(b-1) ≥ a, végezzük el a bal oldalon az osztást:
(b+3)/(b-1) = (b-1+4)/(b-1) = (b-1)/(b-1) + 4/(b-1)) = 1 + 4/(b-1), ez akkor a legnagyobb, hogyha b=2, ekkor 1+4=5, tehát 5≥a. Innen csak végig kell nézni, hogy ha a helyére beírjuk ezeket a számokat, akkor mikor kapunk b helyére egész számot.
-ha egy darab 1-es van, akkor a*b*c*1-1 | a+b+c+1, vagyis abc-1 | a+b+c+1. Itt is ugyanazt az eljárást választjuk, mint az előbb:
a+b+c+1 ≥ abc-1, kivonunk c-t:
a+b+1 ≥ abc-1-c kiemelünk c-t:
a+b+1 ≥ c*(ab-1)-1, hozzáadunk 1-et:
a+b+2 ≥ c*(ab-1), végül osztunk (ab-1)-gyel:
(a+b+2)/(ab-1) ≥ c, szerencsére ezt a hányadost már fent kitárgyaltuk, tehát amilyen számpárokat kaptunk az előbbi megoldásban, azokat beírjuk ide, ezzel maximáljuk c értékeit, és ezekre kell letesztelni, hogy megoldást adnak-e.
-ha egyik sem 1-es, akkor hamar rá lehet jönni, hogy az a=b=c=d=2 esetet kivéve, amikor is 7|8-at kapjuk, az osztó mindig nagyobb lesz, mint az osztandó, így itt nem fogunk megoldást találni.
-ha mindenki 1-es, akkor 1*1*1*1-1 | 1+1+1+1, vagyis 0|4, ez nem igaz.
-ha három 1-es van, akkor a*1*1*1-1 | a+1+1+1, tehát a-1 | a+3, itt írjuk át törtalakba:
(a+3)/(a-1) = (a-1+4)/(a-1) = (a-1)/(a-1) + 4/(a-1) = 1+4/(a-1), ez akkor egész, hogyha a 4/(a-1) egész, ez a=2;3;5 esetén lesz így.
-ha két 1-es van, akkor a*b*1*1-1 | a+b+1+1, vagyis ab-1 | a+b+2. Első körben az egyértelmű, hogy az osztandónak muszáj legalább annyinak lennie, mint az osztó, vagyis:
a+b+2 ≥ ab-1, kivonunk a-t:
b+2 ≥ ab-1-a, kiemelünk a-t:
b+2 ≥ a*(b-1)-1, hozzáadunk 1-et:
b+3 ≥ a*(b-1), végül osztunk (b-1)-gyel:
(b+3)/(b-1) ≥ a, végezzük el a bal oldalon az osztást:
(b+3)/(b-1) = (b-1+4)/(b-1) = (b-1)/(b-1) + 4/(b-1)) = 1 + 4/(b-1), ez akkor a legnagyobb, hogyha b=2, ekkor 1+4=5, tehát 5≥a. Innen csak végig kell nézni, hogy ha a helyére beírjuk ezeket a számokat, akkor mikor kapunk b helyére egész számot.
-ha egy darab 1-es van, akkor a*b*c*1-1 | a+b+c+1, vagyis abc-1 | a+b+c+1. Itt is ugyanazt az eljárást választjuk, mint az előbb:
a+b+c+1 ≥ abc-1, kivonunk c-t:
a+b+1 ≥ abc-1-c kiemelünk c-t:
a+b+1 ≥ c*(ab-1)-1, hozzáadunk 1-et:
a+b+2 ≥ c*(ab-1), végül osztunk (ab-1)-gyel:
(a+b+2)/(ab-1) ≥ c, szerencsére ezt a hányadost már fent kitárgyaltuk, tehát amilyen számpárokat kaptunk az előbbi megoldásban, azokat beírjuk ide, ezzel maximáljuk c értékeit, és ezekre kell letesztelni, hogy megoldást adnak-e.
-ha egyik sem 1-es, akkor hamar rá lehet jönni, hogy az a=b=c=d=2 esetet kivéve, amikor is 7|8-at kapjuk, az osztó mindig nagyobb lesz, mint az osztandó, így itt nem fogunk megoldást találni.
1
- Még nem érkezett komment!