A zárójelben lévő számok mik?

Maga az egyenlőtlenség több módon is megoldható;

1. megoldás: teljes négyzetté alakítással;

Nézzük az első egyenlőtlenséget:

x²-5x-6 < 0. A bal oldalt teljes négyzetté alakítjuk:
(x-2,5)²-6,25-6 < 0, vagyis
(x-2,5)²-13,25 < 0, hozzáadunk 13,25-öt:
(x-2,5)² < 13,25, majd gyököt vonunk:
|x-2,5| < 3,5, ezt megoldjuk, mint általában az abszolutértékes egyenlőtlenségeket, és azt kapjuk, hogy -1 < x < 6, ezt az egyenlőtlenséget a 0;1;2;3;4;5 számok teszik igazzá.

2. megoldás: a gyökök ismeretében;

Oldjuk meg az x²-5x-6=0 egyenletet, ennek két gyöke van: x₁=-1 és x₂=6. Azt tanultátok, hogy ha egy másodfokú kifejezésnek gyöke x₁ és x₂, akkor felírható a*(x-x₁)*(x-x₂) alakban, ahol a a kifejezés főegyütthatója. Eszerint a fenti kifejezés felírható 1*(x+1)*(x-6) alakban, és ha kibontjuk a zárójeleket, akkor pont az eredetit kapjuk vissza, tehát ez jó nekünk. Tehát átírjuk a bal oldalt:

(x+1)*(x-6) < 0

Egy szorzat akkor kisebb, mint 0, hogyha negatív, és akkor negatív, hogyha páratlan sok negatív tényezője van. Ebben az esetben csak az jöhet számításba, hogy ha az egyik pozitív, akkor a másik negatív és fordítva.

1) Ha x+1>0, tehát x>-1, akkor x-6<0, tehát x<6. A két egyenlőtlenség -1<x<6 esetén valósul meg, és ugyanaz jött ki, mint az 1. módszerrel.
2) Ha x+1<0, tehát x<-1, akkor x+6>0, tehát x>6. Olyan szám nem létezik, amelyik egyszerre lenne kisebb (-1)-nél és egyszerre nagyobb 6-nál, így ez az eset nem áll fenn.

A 2. megoldás másként is befejezhető; tudjuk, hogy a másodfokú kifejezés képe egy parabola, és mivel főegyütthatója pozitív, ezért ez egy "álló" parabola (ha negatív lenne, akkor "fejre állított" parabola lenne), erről pedig azt tudjuk, hogy a két gyöke között vesz fel negatív értékeket, tehát -1 és 6 között kell keresni a megfelelő számokat ("fejre állított" parabola esetén ugyanez úgy igaz, hogy a gyökök között pozitív értéket vesz fel, azokon kívül csak negatívakat).