Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Hogyan kell kiszámolni?
habakukk02
kérdése
160
Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 12 cm, a háromszög területe 39,686 cm². Mekkora a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
cos, sin
cos, sin
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
Ármós Csaba
válasza
Szia!
A trigonometrikus területképlettel: 39,686=(10·12·sinγ)/2, amelyből sinγ=0,66143 , tehát a gamma lehet hegyesszög is és tompaszög is: γ₁=41,41⁰, a másik szög pedig γ₂=(180⁰-41,41⁰)=138,59⁰.
A másik két szög közül elég csak az egyiket kiszámolni szinusztétellel a súlyvonal miatt:
sinα/sinβ=10/12, de β=(180⁰-α-γ), emiatt sinα₁/sin (138,59⁰-α₁)=0,8333,
ehhez tudni kell, hogy sin(138,59⁰-α)= (sin138,59⁰·cosα - cos138,59⁰·sinα)= (0,66143cosα+0,75sinα), így ezekből
0,8333×(0,66143cosα+0,75sinα)= sinα egyenletből 0,37503sinα= 0,55117cosα, ezért tgα= 1,4697 melyből α₁= 55,77⁰ lesz.
Vagy pedig sinα₂/sin (41,41⁰-α₂) = 0,8333, szintén, sin (41,41⁰-α)=( 0,66143·cosα - 0,75·sinα) összefüggésből pedig
0,8333×(0,66143cosα-0,75sinα)= sinα egyenletet felírva 1,625sinα= 0,55117cosα, tehát itt tgα= 0,3392 , amiből α₂= 18,74⁰ lesz.
Két súlyvonal-hossz lehetséges tehát!
A harmadik oldal-hosszak is kellenek, ezeket koszinusztétellel megkaphatjuk:
1. tétel: c² =10²+ 12²- 2·10·12×cos41,41⁰, ebből c²= 244- 180= 64 , vagyis c₁= 8 cm.
2. tétel: c² = 10²+ 12²- 2·10·12×cos 138,59⁰, innen pedig c²= 244 +180= 424 -ből c₂= 20,59 cm.
Az egyik belső háromszögben megint felírhatjuk a cos-tételt:
f²= 4²+10²- 2·4·10×cos 55,77⁰, ebből összevonással kaphatjuk, hogy f²= 116 - 45= 71, azaz f₁= 8,43 cm (egyik megoldás) !
A másik belső háromszögben szintén felírhatjuk a cos-tételt:
f²= 4²+ 10² - 2·4·10×cos 18,74⁰, innen ismételten összevonással kapjuk, hogy f²= 116 - 75,76= 40,24 , azaz f₂= 6,34 cm (másik megoldás) !
Tehát a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal hossza vagy 8,43 cm-nyi, vagy pedig 6,34 cm nagyságú lehet!
A trigonometrikus területképlettel: 39,686=(10·12·sinγ)/2, amelyből sinγ=0,66143 , tehát a gamma lehet hegyesszög is és tompaszög is: γ₁=41,41⁰, a másik szög pedig γ₂=(180⁰-41,41⁰)=138,59⁰.
A másik két szög közül elég csak az egyiket kiszámolni szinusztétellel a súlyvonal miatt:
sinα/sinβ=10/12, de β=(180⁰-α-γ), emiatt sinα₁/sin (138,59⁰-α₁)=0,8333,
ehhez tudni kell, hogy sin(138,59⁰-α)= (sin138,59⁰·cosα - cos138,59⁰·sinα)= (0,66143cosα+0,75sinα), így ezekből
0,8333×(0,66143cosα+0,75sinα)= sinα egyenletből 0,37503sinα= 0,55117cosα, ezért tgα= 1,4697 melyből α₁= 55,77⁰ lesz.
Vagy pedig sinα₂/sin (41,41⁰-α₂) = 0,8333, szintén, sin (41,41⁰-α)=( 0,66143·cosα - 0,75·sinα) összefüggésből pedig
0,8333×(0,66143cosα-0,75sinα)= sinα egyenletet felírva 1,625sinα= 0,55117cosα, tehát itt tgα= 0,3392 , amiből α₂= 18,74⁰ lesz.
Két súlyvonal-hossz lehetséges tehát!
A harmadik oldal-hosszak is kellenek, ezeket koszinusztétellel megkaphatjuk:
1. tétel: c² =10²+ 12²- 2·10·12×cos41,41⁰, ebből c²= 244- 180= 64 , vagyis c₁= 8 cm.
2. tétel: c² = 10²+ 12²- 2·10·12×cos 138,59⁰, innen pedig c²= 244 +180= 424 -ből c₂= 20,59 cm.
Az egyik belső háromszögben megint felírhatjuk a cos-tételt:
f²= 4²+10²- 2·4·10×cos 55,77⁰, ebből összevonással kaphatjuk, hogy f²= 116 - 45= 71, azaz f₁= 8,43 cm (egyik megoldás) !
A másik belső háromszögben szintén felírhatjuk a cos-tételt:
f²= 4²+ 10² - 2·4·10×cos 18,74⁰, innen ismételten összevonással kapjuk, hogy f²= 116 - 75,76= 40,24 , azaz f₂= 6,34 cm (másik megoldás) !
Tehát a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal hossza vagy 8,43 cm-nyi, vagy pedig 6,34 cm nagyságú lehet!
1
- Még nem érkezett komment!
Ármós Csaba
válasza
Megint két súlyvonal-hossz értéket kaphatunk, ha az eredeti háromszög tompaszögú:
1. eset: f²= 10,295²+10² - 2·10,295·10×cos 55,77⁰ , ebből levezetve f²= 205,987 - 115,822= 90,165 ebből gyökvonással f₃= 9,496 cm (harmadik eset) !
2. eset: f² = 10,295²+ 10²- 2·10,295·10×cos 18,74⁰, s ebből a levezetéssel f²= 205,987 - 194,984 = 11,003, melyből f₄= 3,32 cm (negyedik eset) !
Azaz két eset lehetséges hegyesszögű háromszögre is és tompaszögű háromszögre is: Hegyesszögű háromszögnél 8,43 vagy 6,34 cm lehet a súlyvonal, míg tompaszögű háromszögnél 9,49 vagy 3,32 cm lehet!
1. eset: f²= 10,295²+10² - 2·10,295·10×cos 55,77⁰ , ebből levezetve f²= 205,987 - 115,822= 90,165 ebből gyökvonással f₃= 9,496 cm (harmadik eset) !
2. eset: f² = 10,295²+ 10²- 2·10,295·10×cos 18,74⁰, s ebből a levezetéssel f²= 205,987 - 194,984 = 11,003, melyből f₄= 3,32 cm (negyedik eset) !
Azaz két eset lehetséges hegyesszögű háromszögre is és tompaszögű háromszögre is: Hegyesszögű háromszögnél 8,43 vagy 6,34 cm lehet a súlyvonal, míg tompaszögű háromszögnél 9,49 vagy 3,32 cm lehet!
1
- Még nem érkezett komment!
Ármós Csaba
megoldása
De ami a legvalószínűbb : Hegyesszögű háromszög esetén 8,43 cm, tompaszögű háromszögnél pedig 3,32 cm lenne elvileg a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal nagysága (ez 100%-ig biztos) !
Remélem tudtam segíteni!
Remélem tudtam segíteni!
1
- Még nem érkezett komment!